Descreva e esboce o domínio de f e ache os valores funcionais indicados:
f(u, v)=\frac{u v}{u-2 v} ; f(2,3), f(-1,4) e f(0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f de duas variáveis
f(u,v)=\frac{u v}{u-2v}
e pede duas coisas:
  • Descrever e esboçar o domínio de f.
  • Calcular os valores f(2,3), f(-1,4) e f(0,1).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula da função f(u,v) (peguei isso do enunciado). Não há outras restrições explícitas; portanto assumimos que u e v são números reais e que a única possível restrição vem de dividir por zero.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? Para uma função de duas variáveis f(u,v) o domínio é o conjunto de pares (u,v)\in\mathbb{R}^2 para os quais a expressão que define f faz sentido como número real. No caso de uma fração, o único problema possível é divisão por zero. Logo devemos exigir que o denominador seja diferente de zero.
Aplicando isso à nossa função, o denominador é u-2v. Então precisamos ter
u-2v \neq 0.
Essa condição é a única restrição para o domínio.

Passo 3

Vamos resolver a condição de exclusão de forma explícita. A equação que determina os pontos proibidos é
u-2v=0.
Resolvendo para u ou para v obtemos formas equivalentes úteis:
u=2v \quad\text{ou}\quad v=\frac{u}{2}.
Essas igualdades descrevem uma reta no plano (u,v). Portanto o domínio é o plano todo menos essa reta. Em notação de conjuntos:
\mathrm{Dom}(f)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u-2v\neq0\}.
Ou, dito de outro jeito,
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2\setminus\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u=2v\}.

Passo 4

Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar no caderno — faça assim que estiver na prova):
  1. Desenhe os eixos: eixo horizontal para u e eixo vertical para v.
  2. Marque alguns pontos da reta proibida: por exemplo quando u=0 temos v=0 (origem), quando u=2 temos v=1, quando u=-2 temos v=-1. Ligue esses pontos por uma linha reta.
  3. A reta tem equação v=\dfrac{u}{2}, ou seja, passa pela origem e sobe lentamente (inclinação 1/2).
  4. Trace essa reta com linha tracejada (ou risque-a) para indicar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
  5. Indique que todo o resto do plano (tudo fora dessa reta tracejada) pertence ao domínio — não é necessário sombrear; basta escrever ao lado algo como "domínio = plano menos a reta u=2v".
Resumo visual mental: o domínio é o plano (u,v) com uma linha diagonal (passando pela origem, através de (2,1), etc.) riscados.

Passo 5

Agora calcular f(2,3). Primeiro verifique se o ponto está no domínio: substituindo na condição do denominador,
u-2v=2-2\cdot 3=2-6=-4\neq0,
logo o ponto está no domínio. Agora calcule a função:
f(2,3)=\frac{2\cdot 3}{2-2\cdot 3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}.
Portanto f(2,3)=-\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Calcular f(-1,4). Verificação de domínio:
u-2v=-1-2\cdot 4=-1-8=-9\neq0,
então definido. Cálculo:
f(-1,4)=\frac{(-1)\cdot 4}{-1-2\cdot 4}=\frac{-4}{-9}=\frac{4}{9}.
Portanto f(-1,4)=\tfrac{4}{9}.

Passo 7

Calcular f(0,1). Verificação de domínio:
u-2v=0-2\cdot 1= -2\neq0,
então definido. Cálculo:
f(0,1)=\frac{0\cdot 1}{0-2\cdot 1}=\frac{0}{-2}=0.
Lembrete didático: quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero, a fração vale zero.

Passo 8

Checagem final e nota prática para a prova: sempre antes de avaliar uma função que envolve divisão, verifique se o ponto está no domínio efetuando u-2v\neq0. Se u-2v=0 o valor é indefinido. Para esboços, lembrar que remover uma reta do plano é simples: desenha-se a reta e a risca-se para indicar exclusão.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u-2v\neq0\}=\mathbb{R}^2\setminus\{(u,v)\mid u=2v\}\n
f(2,3)=-\dfrac{3}{2}\n
f(-1,4)=\dfrac{4}{9}\n
f(0,1)=0

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