Descreva e esboce o domínio de
e ache os valores funcionais indicados:
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
de duas variáveis
e pede duas coisas:
- Descrever e esboçar o domínio de
. - Calcular os valores
, e .
Informações relevantes fornecidas: a fórmula da função
(peguei isso do enunciado). Não há outras restrições explícitas; portanto assumimos que
e
são números reais e que a única possível restrição vem de dividir por zero.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? Para uma função de duas variáveis
o domínio é o conjunto de pares
para os quais a expressão que define
faz sentido como número real. No caso de uma fração, o único problema possível é divisão por zero. Logo devemos exigir que o denominador seja diferente de zero.
Aplicando isso à nossa função, o denominador é
. Então precisamos ter
Essa condição é a única restrição para o domínio.
Passo 3
Vamos resolver a condição de exclusão de forma explícita. A equação que determina os pontos proibidos é
Resolvendo para
ou para
obtemos formas equivalentes úteis:
Essas igualdades descrevem uma reta no plano
. Portanto o domínio é o plano todo menos essa reta. Em notação de conjuntos:
Ou, dito de outro jeito,
Passo 4
Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar no caderno — faça assim que estiver na prova):
- Desenhe os eixos: eixo horizontal para
e eixo vertical para . - Marque alguns pontos da reta proibida: por exemplo quando
temos (origem), quando temos , quando temos . Ligue esses pontos por uma linha reta. - A reta tem equação
, ou seja, passa pela origem e sobe lentamente (inclinação ). - Trace essa reta com linha tracejada (ou risque-a) para indicar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
- Indique que todo o resto do plano (tudo fora dessa reta tracejada) pertence ao domínio — não é necessário sombrear; basta escrever ao lado algo como "domínio = plano menos a reta
".
Resumo visual mental: o domínio é o plano
com uma linha diagonal (passando pela origem, através de
, etc.) riscados.
Passo 5
Agora calcular
. Primeiro verifique se o ponto está no domínio: substituindo na condição do denominador,
logo o ponto está no domínio. Agora calcule a função:
Portanto
.
Passo 6
Calcular
. Verificação de domínio:
então definido. Cálculo:
Portanto
.
Passo 7
Calcular
. Verificação de domínio:
então definido. Cálculo:
Lembrete didático: quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero, a fração vale zero.
Passo 8
Checagem final e nota prática para a prova: sempre antes de avaliar uma função que envolve divisão, verifique se o ponto está no domínio efetuando
. Se
o valor é indefinido. Para esboços, lembrar que remover uma reta do plano é simples: desenha-se a reta e a risca-se para indicar exclusão.