Determine uma equação da reta que tenha coeficiente angular 1 / 4 e que seja tangente à curva y=raizx.

Passo 1

O enunciado pede uma reta de coeficiente angular m=tfrac14 que seja tangente à curva y=raizx. Para isso, vamos precisar da derivada de y=raizx (que dá o coeficiente angular da reta tangente em cada ponto) e da forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calculamos a derivada de y=raizx. Usando a regra da potência,
y' = ddxraizx = ddxx^1/2 = 12,x^-1/2 = 12raizx

Passo 3

Impondo que essa derivada valha m=tfrac14 no ponto de tangência x0, temos
12raizx0 = 14 Longrightarrow 2raizx0=4 Longrightarrow raizx0=2 Longrightarrow x0=4
O valor de y0 na curva é y0=raiz4=2. Logo o ponto de tangência é (4,2).

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta com m=tfrac14 e (x0,y0)=(4,2):
y - 2 = 14,(x - 4)
Distribuindo e isolando y, obtemos
y = 14,x -1 +2 Longrightarrow y = 14,x +1

Resposta

A equação da reta é
y = 14,x + 1

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