(Lei do resfriamento) Um termômetro, cuja leitura é de 10^circ C, é levado para uma sala onde a temperatura é de 23^circ C. Dois minutos depois, a leitura do termômetro é de 18^circ C. Quanto tempo se passará até que a leitura praticamente se iguale a 23^circ C, chegando a. digamos 22.8^circ C ? Responda primeiro por palpite.

Passo 1

O enunciado nos diz que um termômetro inicialmente a ,10^circC é colocado numa sala cuja temperatura ambiente é ,23^circC. Após 2 minutos a leitura é ,18^circC. Queremos saber quanto tempo leva para a leitura chegar a ,22,8^circC. O conteúdo é a Lei de Newton do resfriamento, que afirma que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiente.
Antes de calcular, meu palpite é que vai levar algo em torno de 10 minutos desde o início para chegar a ,22,8^circC.

Passo 2

Segundo Newton, a equação diferencial é
dTdt = -kl(T - Tsr),
onde Ts=23 é a temperatura do ambiente e k>0 a constante de resfriamento. A solução geral, com condição inicial T(0)=10, é
T(t)=Ts + l(T(0)-Tsr)e^-kt =23 + (10-23)e^-kt =23 - 13e^-kt

Passo 3

Usamos o dado T(2)=18:
18 = 23 - 13e^-2k Longrightarrow -5 = -13e^-2k Longrightarrow e^-2k = 513 Longrightarrow k = -12ln!l(tfrac513r) = 12ln!l(tfrac135r)

Passo 4

Agora impomos T(t)=22,8:
22,8 = 23 - 13e^-kt Longrightarrow -0,2 = -13e^-kt Longrightarrow e^-kt = 0,213 = 165 Longrightarrow t = 1kln(65)

Passo 5

Calculando em valores aproximados:
k = 12ln!l(2,6r)approx 0,4778, ln(65)approx 4,174, t approx 4,1740,4778approx 8,7 minutos

Resposta

O termômetro levará cerca de ,8,7 minutos desde o início para atingir ,22,8^circC.

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