(Alibi?) José, que foi preso quando saía de um bar, diz que estava naquele estabelecimento havia pelo menos meia hora (o que lhe serviria de álibi). A polícia checou então a temperatura da água de seu carro (que estava estacionado perto da entrada do bar) no momento da prisão e novamente 30 minutos mais tarde, obtendo os valores de 190^circ F e 110^circ F, respectivamente. Esses resultados apóiam o álibi de José? (Resolva por inspeção.)

Passo 1

O enunciado indica que, no instante da prisão, a temperatura da água do carro era de 190^circ F e, 30 min depois, caiu para 110^circ F. José afirma que já estava no bar há pelo menos 30 min antes da prisão. Para verificar isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a temperatura do objeto com o tempo de resfriamento em um ambiente de temperatura constante.

Passo 2

Segundo a Lei de Newton, se Ta é a temperatura ambiente e T(t) a temperatura da água em t minutos após desligar o motor, então
T(t)=Ta+l(T(0)-Tar)e^-kt,
onde k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

Das medições temos
T(0)=190, T(30)=110
Logo
T(30)-TaT(0)-Ta =110 - Ta190 - Ta =e^-30k
Por “inspeção” escolhemos Ta de modo que esse quociente seja um número simples. Se fizermos
110 - Ta190 - Ta=13,
então
110 - Ta=13(190 - Ta) implies 330 - 3Ta=190 - Ta implies 2Ta=140 implies Ta=70

Passo 4

Com Ta=70, temos
e^-30k=tfrac13 implies -30k=ln!l(tfrac13r) implies k=ln330
Isso significa que a cada 30 min a “diferença” T(t)-Ta é multiplicada por tfrac13.

Passo 5

Supondo que imediatamente após desligar o motor a água estivesse a 212^circ F (ponto de ebulição da água), chamemos esse instante de t=-t0. Então em t=0 a água mede 190^circ F, ou seja,
190-70=(212-70)e^-k,t0 implies 120=142,e^-k,t0 implies e^-k,t0=120142
Assim
t0 =-1kln!l(120142r) =1(ln3)/30,l|ln(120/142)r| approx301,0986times0,1683 approx4,6 minutos

Passo 6

O valor t0approx4,6 min é o tempo decorrido entre desligar o motor e a primeira medição ( 190^circ F). Ou seja, José teria ficado no bar apenas cerca de 5 min antes de ser preso, muito menos que os 30 min alegados.

Resposta

Não. As medições indicam que o motor foi desligado apenas cerca de 5 min antes da prisão, não 30 min, de modo que o álibi de José não se sustenta.

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