Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
y y^prime=(x-1) e^-y^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
y,y'=(x-1)e^-y^2,
com condição inicial y(0)=1.
O método é o de separação de variáveis, pois podemos escrever a derivada y' de modo a agrupar termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Escrevemos y'=dydx e separamos variáveis:
y,dydx=(x-1)e^-y^2 Longrightarrow y,e^y^2,dy=(x-1),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,e^y^2,dy = integral (x-1),dx
No lado esquerdo, use a substituição u=y^2, du=2y,dy, então
integral y,e^y^2,dy =tfrac12integral e^u,du =tfrac12,e^u =tfrac12,e^y^2
No lado direito,
integral (x-1),dx =tfracx^22-x + C
Logo a solução geral implícita é
tfrac12,e^y^2=tfracx^22-x + C Longrightarrow e^y^2=x^2-2x + C',
onde C'=2C.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=1:
e^1^2=e = 0^2-2cdot0 + C'Longrightarrow C'=e

Passo 5

Substituindo C'=e e tomando o ramo compatível com y(0)=1>0, temos
e^y^2=x^2-2x+e Longrightarrow y^2=lnl(x^2-2x+er) Longrightarrow y(x)=raizlnl(x^2-2x+er)

Resposta

y(x)=raizlnl(x^2-2x+er),
válida para x tal que x^2-2x+e>0 e satisfazendo y(0)=1.

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