Determine a equação dos seguintes planos:
Perpendicular ao vetor v=(4,2,-4) cuja distância à origem é 16 unidades;

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar a(s) equação(ões) do(s) plano(s) que sejam perpendicular(is) ao vetor vec v = (4,2,-4) e cuja distância até a origem seja 16. O conteúdo necessário é a forma geral de um plano a partir de seu vetor normal e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Um plano perpendicular ao vetor vec v tem como vetor normal (4,2,-4) e, portanto, sua equação geral pode ser escrita como
4x + 2y - 4z + D = 0,
em que D é a constante a determinar.

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0,z0) à superfície do plano ax + by + cz + D = 0 é dada por
d = lvert a x0 + b y0 + c z0 + Drvertraiza^2 + b^2 + c^2
Para a origem (0,0,0) isso vira lvert Drvert / raiza^2+b^2+c^2.

Passo 4

Aqui a=4, b=2, c=-4 e
raiza^2+b^2+c^2 = raiz16+4+16 = 6
Como queremos d = 16, temos
lvert Drvert6 = 16 Longrightarrow lvert Drvert = 96,
logo D = 96 ou D = -96.

Passo 5

Substituindo em 4x + 2y - 4z + D = 0, obtemos as duas soluções:
4x + 2y - 4z + 96 = 0 e 4x + 2y - 4z - 96 = 0

Resposta

As equações dos planos são
4x + 2y - 4z + 96 = 0 e 4x + 2y - 4z - 96 = 0

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