Determine a equação dos seguintes planos:
Que passa pelo ponto Q=(0,1,5) e é paralelo aos vetores v1=(2,-1,4) e v2= (1, 2, 3);

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano em R^3 que passa por Q=(0,1,5) e é paralelo aos vetores v1=(2,-1,4) e v2=(1,2,3). Para isso, vamos usar que o vetor normal do plano é dado pelo produto vetorial v1timesv2 e depois escrever a equação escalar via ncdot(r-r0)=0.

Passo 2

Calcular o produto vetorial v1timesv2. Temos
n = i & j & k 2 & -1 & 4 1 & 2 & 3 =il((-1)cdot3 - 4cdot2r) -jl(2cdot3 - 4cdot1r) +kl(2cdot2 - (-1)cdot1r),
o que resulta em
n=(-11,-2,5)

Passo 3

Podemos usar o normal ,(11,2,-5), multiplicando por -1. A equação escalar do plano é
11(x-0) + 2(y-1) -5(z-5) = 0

Passo 4

Expandindo e simplificando, obtemos
11x + 2y - 2 -5z +25 = 0 Longrightarrow 11x + 2y - 5z +23 = 0
Verificamos que Q=(0,1,5) satisfaz:
11cdot0 + 2cdot1 -5cdot5 +23 = 0 + 2 -25 +23 = 0

Resposta

11x + 2y - 5z + 23 = 0

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