Sejam X e Y espaços normados.
(a) Dados x^* in X^* e y in Y, mostre que a aplicação Tx^* ; y: X Y definida pela fórmula Tx^*, y(x)=x^*(x) y é linear e contínua. Mostre ainda que |Tx^*, y|= |x^*||y|.
(b) Se X neq varnothing, mostre que L(X ; Y) contém um subespaço fechado isométrico a Y.
(c) Mostre que se X neq varnothing então L(X ; Y) é Banach se, e somente se, Y é Banach.

Passo 1

O enunciado envolve espaços normados X e Y e fala da aplicação
Tx^*,ycolon Xto Y, Tx^*,y(x)=x^*(x),y,
onde x^*in X^* (o dual de X) e yin Y.
Conteúdo: demonstração de linearidade e continuidade de operadores, norma do operador, isometrias entre espaços de operadores e completude (Banach).

Passo 2

Parte (a): linearidade de Tx^*,y.
Para quaisquer x1,x2in X e escalares alpha,beta temos
Tx^*,y(alpha x1+beta x2) = x^*(alpha x1+beta x2),y = l(alpha x^*(x1)+beta x^*(x2)r),y = alpha,x^*(x1),y+beta,x^*(x2),y = alpha,Tx^*,y(x1)+beta,Tx^*,y(x2),
logo Tx^*,y é linear.

Passo 3

Parte (a): continuidade e cálculo da norma.
Para todo xin X vale
|Tx^*,y(x)| = |x^*(x)|,|y| <= |x^*|,|x|,|y|
Isto mostra que Tx^*,y é limitado (logo contínuo) e
|Tx^*,y|<= |x^*|,|y|
Para ver que há igualdade, escolha x0in X com |x0|=1 e tal que |x^*(x0)|=|x^*| (uso de Hahn–Banach se necessário). Então
|Tx^*,y(x0)| = |x^*(x0)|,|y| = |x^*|,|y|
implying
|Tx^*,y|=|x^*|,|y|.

Passo 4

Parte (b): existe subespaço fechado de L(X;Y) isométrico a Y.
Como Xneqvarnothing, escolha x0in X, x0neq0, e use Hahn–Banach para obter x^*in X^* com |x^*|=1 e x^*(x0)=|x0|. Defina
Jcolon Yto L(X;Y), J(y)=Tx^*,y
Já vimos que |J(y)|=|x^*|,|y|=|y|. Assim J é isométrico e injetivo. Se l(J(yn)r) convergir em L(X;Y) a algum T, então (yn) é Cauchy em Y e converge a y, e a continuidade de J J(yn)to J(y). Logo a imagem de J é fechada.

Passo 5

Parte (c): completude de L(X;Y) versus completude de Y.
Rightarrow” Se Y é Banach, mostre que todo Cauchy (Tn)subsetL(X;Y) converge. Para cada xin X, (Tn(x)) é Cauchy em Y e converge a um valor que define T(x). Verifica-se que T é linear, limitado e |Tn-T|to0.
Leftarrow” Se L(X;Y) é Banach e Xneqvarnothing, então pela parte (b) Y é isométrico a um subespaço fechado de L(X;Y). Subespaço fechado de espaço completo é completo, logo Y é Banach.

Resposta

(a) Já provamos que Tx^*,y é linear, contínuo e
|Tx^*,y|=|x^*|,|y|
(b) Escolhendo um funcional não trivial x^*in X^* com |x^*|=1 e definindo J(y)=Tx^*,y, obtemos um isomorfismo isométrico de Y sobre um subespaço fechado de L(X;Y).
(c) L(X;Y) é Banach se, e somente se, Y é Banach. A implicação “ Rightarrow” faz-se construindo o limite ponto a ponto de uma sequência de operadores, e “ Leftarrow” usa a isometria de (b).

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