Sejam
e
espaços normados.
(a) Dados
e
, mostre que a aplicação
definida pela fórmula
é linear e contínua. Mostre ainda que
.
(b) Se
, mostre que
contém um subespaço fechado isométrico a
.
(c) Mostre que se
então
é Banach se, e somente se,
é Banach.
(a) Dados
(b) Se
(c) Mostre que se
Passo 1
O enunciado envolve espaços normados
e
e fala da aplicação
onde
(o dual de
) e
.
Conteúdo: demonstração de linearidade e continuidade de operadores, norma do operador, isometrias entre espaços de operadores e completude (Banach).
Conteúdo: demonstração de linearidade e continuidade de operadores, norma do operador, isometrias entre espaços de operadores e completude (Banach).
Passo 2
Parte (a): linearidade de
.
Para quaisquer e escalares
temos
Para quaisquer
logo
é linear.
Passo 3
Parte (a): continuidade e cálculo da norma.
Para todo vale
Para todo
Isto mostra que
é limitado (logo contínuo) e
Para ver que há igualdade, escolha
com
e tal que
(uso de Hahn–Banach se necessário). Então
implying
.
Passo 4
Parte (b): existe subespaço fechado de
isométrico a
.
Como , escolha
,
, e use Hahn–Banach para obter
com
e
. Defina
Como
Já vimos que
. Assim
é isométrico e injetivo. Se
convergir em
a algum
, então
é Cauchy em
e converge a
, e a continuidade de
dá
. Logo a imagem de
é fechada.
Passo 5
Parte (c): completude de
versus completude de
.
“ ” Se
é Banach, mostre que todo Cauchy
converge. Para cada
,
é Cauchy em
e converge a um valor que define
. Verifica-se que
é linear, limitado e
.
“ ” Se
é Banach e
, então pela parte (b)
é isométrico a um subespaço fechado de
. Subespaço fechado de espaço completo é completo, logo
é Banach.
“
“
Resposta
(a) Já provamos que
é linear, contínuo e
(b) Escolhendo um funcional não trivial
com
e definindo
, obtemos um isomorfismo isométrico de
sobre um subespaço fechado de
.
(c) é Banach se, e somente se,
é Banach. A implicação “
” faz-se construindo o limite ponto a ponto de uma sequência de operadores, e “
” usa a isometria de (b).
(c)