P 6.6. Seja Bc=e1, e2 a base canónica (ordenada) de R^2.
a) Determine a matriz de mudança de base de Bc para
B1=[l 5 0 ],[l 0 3 ]
b) Seja
B2=[l 1 2 ],[l 3 4 ]
Determine a matriz de mudança de base de Bc para B2 e de B2 para Bc.
Calcule as componentes dos vectores v1=[c7 10] e v2=[l1 2] na base B2.
c) Determine as matrizes de mudança de base de B1 para B2 e de B2 para B1.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a base canónica Bc=e1,e2 e as bases
B1=l50,03r
e
B2=l12,34r
Pede-se as matrizes de mudança de base entre essas bases e, em particular, as componentes de
,v1=710 e v2=12 na base B2. Para isso vamos expressar vetores de uma base em termos de outra e inverter matrizes 2times2.

Passo 2

Para a parte (a) queremos a matriz tal que
Escrevendo obtemos e . Portanto
]

Passo 3

Para a parte (b) começamos por achar
Como temos o sistema
A inversa de é
logo
A matriz inversa é simplesmente
Para encontrar as componentes de e na base calculamos
]

Passo 4

Para a parte (c) queremos P1to2 e P2to1. Note que
P1to2 = Pcto2,P1to c, P2to1 = Pcto1,P2to c,
e como P1to c=(Pcto1)^-1=5&00&3 segue
P1to2 = -2 & 3/21 & -1/2 5 & 00 & 3 = -10 & 9/25 & -3/2,
P2to1 = 1/5 & 00 & 1/3 1 & 32 & 4 = 1/5 & 3/52/3 & 4/3

Resposta

a) Pcto1=1/5&00&1/3\n
b) Pcto2=-2&3/21&-1/2, P2to c=1&32&4\n
[v1]B2=(1,2)^top, [v2]B2=(1,0)^top\n
c) P1to2=-10&9/25&-3/2, P2to1=1/5&3/52/3&4/3

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