O conteúdo é mudança de base e ortogonalidade de matrizes. Para resolver, basta lembrar que a matriz que vai da base canónica para B1 tem como colunas as coordenadas de v1,v2,v3 na base canónica.
Passo 2
Como cada vetor vi já está dado em coordenadas canónicas, a matriz S é
Para mostrar que S é ortogonal, calculamos S^tS. Como as colunas de S são vetores unitários e mutuamente ortogonais, seus produtos internos satisfazem
vicdot vj = 1,& i=j, 0,& ineq j,
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S^tS = I3
Passo 4
Da igualdade S^tS=I3 segue-se imediatamente que
S^-1=S^t,
o que confirma que S é de facto uma matriz ortogonal (problema 4.4).
Passo 5
Geométricamente, S representa a rotação em R^3 de ângulo alpha em torno do eixo y (o segundo eixo coordenado). O facto de S^-1=S^t reflete que a inversa de uma rotação é a rotação em sentido oposto, e que rotações preservam comprimentos e ângulos.