P 6.7. Determine a matriz de mudança de base S da base canónica de R^3 para a base ordenada
B1=[c cos alpha 0 sen alpha ],[l 0 1 0 ],[c -sen alpha 0 cos alpha ]
Mostre que S é uma matriz ortogonal (recorde o problema 4.4) e que S^t=S^-1. Qual o significado geométrico desta igualdade?

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base S que leva a base canónica de R^3 na base ordenada
B1=lv1,v2,v3r com
v1=cosalpha0sinalpha, v2=010, v3=-sinalpha0cosalpha
O conteúdo é mudança de base e ortogonalidade de matrizes. Para resolver, basta lembrar que a matriz que vai da base canónica para B1 tem como colunas as coordenadas de v1,v2,v3 na base canónica.

Passo 2

Como cada vetor vi já está dado em coordenadas canónicas, a matriz S é
S = cosalpha & 0 & -sinalpha 0 & 1 & 0 sinalpha & 0 & cosalpha

Passo 3

Para mostrar que S é ortogonal, calculamos S^tS. Como as colunas de S são vetores unitários e mutuamente ortogonais, seus produtos internos satisfazem
vicdot vj = 1,& i=j, 0,& ineq j,
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S^tS = I3

Passo 4

Da igualdade S^tS=I3 segue-se imediatamente que
S^-1=S^t,
o que confirma que S é de facto uma matriz ortogonal (problema 4.4).

Passo 5

Geométricamente, S representa a rotação em R^3 de ângulo alpha em torno do eixo y (o segundo eixo coordenado). O facto de S^-1=S^t reflete que a inversa de uma rotação é a rotação em sentido oposto, e que rotações preservam comprimentos e ângulos.

Resposta

S = cosalpha & 0 & -sinalpha 0 & 1 & 0 sinalpha & 0 & cosalpha , S^tS=I3, S^-1=S^t,
que corresponde à rotação de alpha em torno do eixo y.

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