Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da reta
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma equação da superfície obtida ao rotacionar a reta
em torno do eixo
.
Informações dadas:
- A reta está no plano
(assume-se ) e é descrita por para . - A rotação é em torno do eixo
.
O que se pede: encontrar a equação cartesiana que descreve a superfície de revolução gerada por essa rotação.
Passo 2
Ideia básica e fórmula geral (explicação didática passo a passo).
- Considere uma curva no plano
dada por . Um ponto dessa curva tem coordenadas . - Ao rotacionar esse ponto em torno do eixo
por um ângulo , o valor da coordenada não muda (rotação em torno do eixo deixa fixo). As coordenadas e descrevem um círculo de raio no plano perpendicular ao eixo . - Portanto, a parametrização do ponto rotacionado é
onde
varia em
.
- Para obter a equação cartesiana da superfície, eliminamos o parâmetro
. Somando os quadrados das coordenadas e obtemos
- Conclusão geral: a rotação da curva
em torno do eixo tem equação
Aqui
é a coordenada ao longo do eixo de rotação e
é o quadrado da distância ao eixo
.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso
.
- Neste problema,
. - Substituindo na equação geral
obtém-se
- Portanto a superfície procurada satisfaz
.
Passo 4
Parametrização e interpretação geométrica (para entender como usar isso numa prova).
- Uma parametrização conveniente é
com
e
. Isso descreve a família de círculos de raio
centrados no eixo
.
- Geometricamente,
é a equação de um cone circular duplo de vértice na origem e eixo ao longo de . Em palavras: para cada fixo ocorre um círculo de raio proporcional a . - Ângulo entre a geratriz e o eixo
: tomando a direção da reta geratriz , tem-se , logo . ( útil se pedirem abertura do cone )
Passo 5
Observação prática para provas (truque rápido).
- Em provas rápidas: ao rotacionar uma curva
em torno do eixo , escreva direto . Para lembre-se de elevar ao quadrado e pronto.