Determine uma equação da superfície obtida pela rotação da reta y=3 x em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma equação da superfície obtida ao rotacionar a reta y=3x em torno do eixo x.
Informações dadas:
  • A reta está no plano xy (assume-se z=0) e é descrita por (x,y,z)=(x,3x,0) para x\in\mathbb{R}.
  • A rotação é em torno do eixo x.
O que se pede: encontrar a equação cartesiana que descreve a superfície de revolução gerada por essa rotação.

Passo 2

Ideia básica e fórmula geral (explicação didática passo a passo).
  • Considere uma curva no plano xy dada por y=f(x). Um ponto dessa curva tem coordenadas (x,f(x),0).
  • Ao rotacionar esse ponto em torno do eixo x por um ângulo \theta, o valor da coordenada x não muda (rotação em torno do eixo x deixa x fixo). As coordenadas y e z descrevem um círculo de raio |f(x)| no plano perpendicular ao eixo x.
  • Portanto, a parametrização do ponto rotacionado é
\big(x,\;f(x)\cos\theta,\;f(x)\sin\theta\big),
onde \theta varia em [0,2\pi).
  • Para obter a equação cartesiana da superfície, eliminamos o parâmetro \theta. Somando os quadrados das coordenadas y e z obtemos
y^2+z^2 = \big(f(x)\cos\theta\big)^2 + \big(f(x)\sin\theta\big)^2 = f(x)^2\big(\cos^2\theta+\sin^2\theta\big)=f(x)^2.
  • Conclusão geral: a rotação da curva y=f(x) em torno do eixo x tem equação
y^2+z^2 = f(x)^2.
Aqui x é a coordenada ao longo do eixo de rotação e y^2+z^2 é o quadrado da distância ao eixo x.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso y=3x.
  • Neste problema, f(x)=3x.
  • Substituindo na equação geral \,y^2+z^2=f(x)^2\, obtém-se
y^2+z^2 = \big(3x\big)^2 = 9x^2.
  • Portanto a superfície procurada satisfaz \,y^2+z^2=9x^2\,.

Passo 4

Parametrização e interpretação geométrica (para entender como usar isso numa prova).
  • Uma parametrização conveniente é
\big(x,y,z\big) = \big(x,\;3x\cos\theta,\;3x\sin\theta\big),
com x\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi). Isso descreve a família de círculos de raio 3|x| centrados no eixo x.
  • Geometricamente, \,y^2+z^2=9x^2\, é a equação de um cone circular duplo de vértice na origem e eixo ao longo de x. Em palavras: para cada x fixo ocorre um círculo de raio proporcional a |x|.
  • Ângulo entre a geratriz e o eixo x: tomando a direção da reta geratriz (1,3,0), tem-se \tan\alpha=3, logo \alpha=\arctan 3. ( útil se pedirem abertura do cone )

Passo 5

Observação prática para provas (truque rápido).
  • Em provas rápidas: ao rotacionar uma curva y=f(x) em torno do eixo x, escreva direto y^2+z^2=f(x)^2. Para f(x)=3x lembre-se de elevar ao quadrado e pronto.

Resposta

\;y^2+z^2=9x^2

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