Coloque as equações na forma-padrão, classifique a superfície e esboce.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 y-3 z=3

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação abaixo e pede três coisas: colocar na forma-padrão, classificar a superfície e esboçá-la.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y-3z=3
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é um polinômio quadrático em x,y,z.
  • Precisa-se escrever essa equação na forma-padrão (isto é, a forma que evidencia centro e raio, se for uma esfera).
  • Depois identificar que tipo de superfície é (esfera, elipsoide, etc.).
  • Por fim, esboçar (dar pistas e curvas de interseção que ajudam no desenho).

Passo 2

Vamos reescrever a equação completando os quadrados em y e em z. Lembre: completar quadrado para uma expressão do tipo t^{2}+2at (t+a)^{2}-a^{2}. Aqui usamos isso para termos lineares em y e z.
Começo agrupando termos:
x^{2} + \bigl(y^{2}-2y\bigr) + \bigl(z^{2}-3z\bigr)=3.
Agora completo o quadrado em y:
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1,
porque (y-1)^{2}=y^{2}-2y+1, então subtrai-se 1 para compensar.
E para z:
z^{2}-3z = \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{9}{4}.
Substituindo essas identidades na equação inicial:
x^{2} + \bigl((y-1)^{2}-1\bigr) + \bigl(\left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{9}{4}\bigr) = 3.
Agrupando os termos quadráticos e os constantes:
x^{2} + (y-1)^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} -1 -\tfrac{9}{4} = 3.
Calculo a soma das constantes negativas:
-1 - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{4}{4} - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{13}{4}.
Assim:
x^{2} + (y-1)^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} -\tfrac{13}{4} = 3.
Passo os termos constantes para o lado direito:
x^{2} + (y-1)^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = 3 + \tfrac{13}{4}.
Somando 3+\tfrac{13}{4}:
3 + \tfrac{13}{4} = \tfrac{12}{4} + \tfrac{13}{4} = \tfrac{25}{4}.
Portanto a forma-padrão fica:
x^{2} + (y-1)^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{25}{4}.

Passo 3

Interpretação geométrica da forma-padrão:
A equação
x^{2} + (y-1)^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{25}{4}
é da forma geral de uma esfera:
(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},
onde (x_{0},y_{0},z_{0}) é o centro e R é o raio.
Comparando, obtemos:
  • Centro: \bigl(0,\,1,\,\tfrac{3}{2}\bigr).
  • Raio: R=\sqrt{\tfrac{25}{4}}=\tfrac{5}{2}=2{,}5.
Classificação: trata-se de uma esfera de centro \bigl(0,1,\tfrac{3}{2}\bigr) e raio \tfrac{5}{2}.

Passo 4

Como esboçar (dicas práticas passo a passo, para você desenhar rapidamente à mão):
  1. Marque o centro C=(0,1,1{,}5) no sistema de coordenadas 3D ( x horizontal, y para cima no plano da folha e z apontando para fora/para cima em perspectiva — escolha uma convenção de perspectiva e mantenha-a).
  2. Desenhe uma esfera “provisória” com raio 2{,}5 centrada em C. Para melhorar o esboço, encontre interseções com planos coordenados (são círculos) — isso ajuda a posicionar o contorno:
  • Interseção com o plano z=0: substitua z=0 na forma-padrão e obtenha
    x^{2}+(y-1)^{2}= \tfrac{25}{4}-\tfrac{9}{4} = 4.
    Ou seja, um círculo de centro (0,1,0) e raio 2. Esse é o “corte” da esfera pelo plano z=0.
  • Interseção com o plano y=0: substitua y=0,
    x^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{25}{4}-1 = \tfrac{21}{4},
    um círculo de centro (0,0,\tfrac{3}{2}) e raio \tfrac{\sqrt{21}}{2}\approx2{,}29.
  • Interseção com o plano x=0: substitua x=0,
    (y-1)^{2} + \left(z-\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{25}{4},
    um círculo de centro (0,1,\tfrac{3}{2}) (mesmo centro da esfera projetado) e raio \tfrac{5}{2}.
  1. Interceptos com eixos (úteis para pontos característicos):
  • Eixo x ( y=0,z=0): x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\approx\pm1{,}732.
  • Eixo y ( x=0,z=0): resolve y^{2}-2y=3\Rightarrow y=3 ou y=-1. Pontos (0,3,0) e (0,-1,0) estão na esfera.
  • Eixo z ( x=0,y=0): resolve z^{2}-3z=3\Rightarrow z=\dfrac{3\pm\sqrt{21}}{2}\approx 3{,}79 e -0{,}79.
  1. No esboço: represente o contorno visível da esfera como uma elipse (projeção da circunferência) e o contorno oculto como linhas tracejadas. Use os círculos de interseção com os planos coordenados para posicionar corretamente as elipses maiores/menores.

Passo 5

Verificação rápida: centro \bigl(0,1,\tfrac{3}{2}\bigr) na forma-padrão produz 0+(1-1)^{2}+(3/2-3/2)^{2}=0 e, subtraindo do lado direito, confirma que R^{2}=\tfrac{25}{4}. A conta anterior está consistente.

Resposta

x^{2}+(y-1)^{2}+\left(z-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}
Esfera com centro \left(0,\,1,\,\dfrac{3}{2}\right) e raio \dfrac{5}{2}
Esboço: esfera centrada em (0,1,1{,}5) de raio 2{,}5; interseção com z=0 é o círculo de centro (0,1,0) e raio 2, com y=0 é raio \tfrac{\sqrt{21}}{2}, etc.

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