Coloque as equações na forma-padrão, classifique a superfície e esboce.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação abaixo e pede três coisas: colocar na forma-padrão, classificar a superfície e esboçá-la.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é um polinômio quadrático em
. - Precisa-se escrever essa equação na forma-padrão (isto é, a forma que evidencia centro e raio, se for uma esfera).
- Depois identificar que tipo de superfície é (esfera, elipsoide, etc.).
- Por fim, esboçar (dar pistas e curvas de interseção que ajudam no desenho).
Passo 2
Vamos reescrever a equação completando os quadrados em
e em
. Lembre: completar quadrado para uma expressão do tipo
dá
. Aqui usamos isso para termos lineares em
e
.
Começo agrupando termos:
Agora completo o quadrado em
:
porque
, então subtrai-se
para compensar.
E para
:
Substituindo essas identidades na equação inicial:
Agrupando os termos quadráticos e os constantes:
Calculo a soma das constantes negativas:
Assim:
Passo os termos constantes para o lado direito:
Somando
:
Portanto a forma-padrão fica:
Passo 3
Interpretação geométrica da forma-padrão:
A equação
é da forma geral de uma esfera:
onde
é o centro e
é o raio.
Comparando, obtemos:
- Centro:
. - Raio:
.
Classificação: trata-se de uma esfera de centro
e raio
.
Passo 4
Como esboçar (dicas práticas passo a passo, para você desenhar rapidamente à mão):
-
Marque o centro
no sistema de coordenadas 3D ( horizontal, para cima no plano da folha e apontando para fora/para cima em perspectiva — escolha uma convenção de perspectiva e mantenha-a). -
Desenhe uma esfera “provisória” com raio
centrada em . Para melhorar o esboço, encontre interseções com planos coordenados (são círculos) — isso ajuda a posicionar o contorno:
-
Interseção com o plano
: substitua na forma-padrão e obtenha Ou seja, um círculo de centroe raio . Esse é o “corte” da esfera pelo plano . -
Interseção com o plano
: substitua , um círculo de centroe raio . -
Interseção com o plano
: substitua , um círculo de centro(mesmo centro da esfera projetado) e raio .
- Interceptos com eixos (úteis para pontos característicos):
- Eixo
( ): . - Eixo
( ): resolve ou . Pontos e estão na esfera. - Eixo
( ): resolve e .
- No esboço: represente o contorno visível da esfera como uma elipse (projeção da circunferência) e o contorno oculto como linhas tracejadas. Use os círculos de interseção com os planos coordenados para posicionar corretamente as elipses maiores/menores.
Passo 5
Verificação rápida: centro
na forma-padrão produz
e, subtraindo do lado direito, confirma que
. A conta anterior está consistente.
Resposta
Esfera com centro
Esboço: esfera centrada em