Nas equações abaixo identifique os traços, as seções e esboce o gráfico para cada superfície quádrica:
Passo 1
O enunciado pede, para a superfície dada, que eu:
- identifique os traços (interseções com os planos coordenados);
- identifique as seções (fatias por planos paralelos aos planos coordenados, isto é,
, , ); - esboce (descreva como desenhar) o gráfico da superfície.
A única informação dada é a equação da superfície:
Passo 2
Colocar a equação na forma canônica ajuda a reconhecer o tipo de superfície. Divido toda a equação por
:
Simplificando cada fração:
Explicando: a forma
é a forma padrão de um elipsoide centrado na origem. Aqui podemos identificar
logo
Interpretação física:
são os semieixos do elipsoide nas direções
respetivamente — ou seja, as “meias-alturas” do elipsoide ao longo de cada eixo coordenado.
Passo 3
Encontrar as interseções com os eixos (útil para o esboço).
- Interseção com o eixo
: colocar e , obtemos , ou seja - Interseção com o eixo
: colocar e , obtemos , ou seja - Interseção com o eixo
: colocar e , obtemos , ou seja
Passo 4
Traços: interseções com os três planos coordenados.
-
Traço no plano
(plano ): substituir na equação original: É uma elipse no plano, com semieixos em e em . -
Traço no plano
(plano ): substituir : É uma elipse no plano, com semieixos em e em . -
Traço no plano
(plano ): substituir : É uma elipse no plano, com semieixos em e em .
Passo 5
Seções por planos paralelos aos planos coordenados — forma geral e interpretação.
-
Seção por
(plano paralelo a ):
substituirdá Se(ou seja ), a seção é uma elipse. Podemos escrever em forma padrão Os semieixos dessa elipse sãoObservações: pararecupera-se , ; para a seção reduz-se a um ponto; para não existe seção real (vazio). Exemplo numérico: para, -
Seção por
(plano paralelo a ):
substituirdá Se(ou seja ), a seção é elipse com semieixos Parareduz-se a um ponto; para vazio. -
Seção por
(plano paralelo a ):
substituirdá Se(ou seja ), a seção é elipse; para ponto; para maior que isso vazio.
Resumo das condições de existência: as seções são elipses enquanto o plano cortar o interior do elipsoide (valor de
dentro dos semieixos correspondentes); nas fronteiras elas reduzem a pontos, e fora não há interseção.
Passo 6
Classificação da superfície. Justificativa simples: todos os coeficientes dos termos quadráticos (
) são positivos e a equação é igual a uma constante positiva; isso caracteriza um elipsoide centrado na origem — uma superfície fechada e limitada (sem infinito). Portanto a superfície é um elipsoide com semieixos
Passo 7
Como esboçar o elipsoide passo a passo (dicas práticas para a prova, sem usar régua complicada):
- Desenhar os três eixos coordenados
com a origem no centro. - Marcar os interceptos que calculámos:
- No plano
desenhar a elipse passando por e . - No plano
desenhar a elipse (um “elipse vertical” passando por e ). - No plano
desenhar a elipse (outro “elipse vertical”). - Fazer uma superfície suave que passe por essas elipses, lembrando que o eixo
é muito mais longo que e (o elipsoide é “esticado” na direção ). - Sombreie ou trace contornos horizontais (níveis de
) mostrando elipses cada vez menores à medida que aumenta até .
Uma maneira mental simples: imaginar uma esfera achatada/esticada conforme os fatores
; aqui está alongada em
por ter
muito maior que
e
.
Passo 8
Resumo final (valores e formas sem demonstração extra):
- forma canônica:
- semieixos:
Resposta
Traços:
Seções gerais: (elipses para
, ponto para
, vazio para
); análogas para
e
com as condições
e
respetivamente.
Classificação/Esboço: elipsoide centrado na origem com semieixos (desenhar elipses nas três direções e ligar suavemente).
Seções gerais:
Classificação/Esboço: elipsoide centrado na origem com semieixos