Nas equações abaixo identifique os traços, as seções e esboce o gráfico para cada superfície quádrica:
9 x^{2}+6 y^{2}+z^{2}=36

Passo 1

O enunciado pede, para a superfície dada, que eu:
  • identifique os traços (interseções com os planos coordenados);
  • identifique as seções (fatias por planos paralelos aos planos coordenados, isto é, z=k, y=k, x=k);
  • esboce (descreva como desenhar) o gráfico da superfície.
A única informação dada é a equação da superfície:
9x^{2}+6y^{2}+z^{2}=36.

Passo 2

Colocar a equação na forma canônica ajuda a reconhecer o tipo de superfície. Divido toda a equação por 36:
\frac{9x^{2}}{36}+\frac{6y^{2}}{36}+\frac{z^{2}}{36}=1.
Simplificando cada fração:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{6}+\frac{z^{2}}{36}=1.
Explicando: a forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
é a forma padrão de um elipsoide centrado na origem. Aqui podemos identificar
a^{2}=4,\qquad b^{2}=6,\qquad c^{2}=36,
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a=2,\qquad b=\sqrt{6}\\ (\approx 2,449),\qquad c=6.
Interpretação física: a,b,c são os semieixos do elipsoide nas direções x,y,z respetivamente — ou seja, as “meias-alturas” do elipsoide ao longo de cada eixo coordenado.

Passo 3

Encontrar as interseções com os eixos (útil para o esboço).
  • Interseção com o eixo x: colocar y=0 e z=0, obtemos 9x^{2}=36, ou seja x=\pm 2.
  • Interseção com o eixo y: colocar x=0 e z=0, obtemos 6y^{2}=36, ou seja y=\pm \sqrt{6}\\ (\approx \pm 2,449).
  • Interseção com o eixo z: colocar x=0 e y=0, obtemos z^{2}=36, ou seja z=\pm 6.

Passo 4

Traços: interseções com os três planos coordenados.
  • Traço no plano z=0 (plano xy): substituir z=0 na equação original:
    9x^{2}+6y^{2}=36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{6}=1.
    É uma elipse no plano z=0, com semieixos a=2 em x e b=\sqrt{6} em y.
  • Traço no plano y=0 (plano xz): substituir y=0:
    9x^{2}+z^{2}=36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{36}=1.
    É uma elipse no plano y=0, com semieixos 2 em x e 6 em z.
  • Traço no plano x=0 (plano yz): substituir x=0:
    6y^{2}+z^{2}=36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{6}+\frac{z^{2}}{36}=1.
    É uma elipse no plano x=0, com semieixos \sqrt{6} em y e 6 em z.

Passo 5

Seções por planos paralelos aos planos coordenados — forma geral e interpretação.
  • Seção por z=k (plano paralelo a xy):
    substituir z=k
    9x^{2}+6y^{2}=36-k^{2}.
    Se 36-k^{2}>0 (ou seja |k|<6), a seção é uma elipse. Podemos escrever em forma padrão
    \frac{x^{2}}{\dfrac{36-k^{2}}{9}}+\frac{y^{2}}{\dfrac{36-k^{2}}{6}}=1.
    Os semieixos dessa elipse são
    a_{z}(k)=\sqrt{\frac{36-k^{2}}{9}}=\frac{\sqrt{36-k^{2}}}{3},\qquad b_{z}(k)=\sqrt{\frac{36-k^{2}}{6}}.
    Observações: para k=0 recupera-se a_{z}=2, b_{z}=\sqrt{6}; para |k|=6 a seção reduz-se a um ponto; para |k|>6 não existe seção real (vazio).
    Exemplo numérico: para k=3,
    36-k^{2}=27,\quad a_{z}(3)=\frac{\sqrt{27}}{3}=\sqrt{3}\\ (\approx 1,732),\quad b_{z}(3)=\sqrt{\frac{27}{6}}=\sqrt{\tfrac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\\ (\approx 2,121).
  • Seção por x=k (plano paralelo a yz):
    substituir x=k
    6y^{2}+z^{2}=36-9k^{2}.
    Se 36-9k^{2}>0 (ou seja |k|<2), a seção é elipse com semieixos
    a_{x}(k)=\sqrt{\frac{36-9k^{2}}{6}},\qquad b_{x}(k)=\sqrt{36-9k^{2}}.
    Para |k|=2 reduz-se a um ponto; para |k|>2 vazio.
  • Seção por y=k (plano paralelo a xz):
    substituir y=k
    9x^{2}+z^{2}=36-6k^{2}.
    Se 36-6k^{2}>0 (ou seja |k|<\sqrt{6}), a seção é elipse; para |k|=\sqrt{6} ponto; para maior que isso vazio.
Resumo das condições de existência: as seções são elipses enquanto o plano cortar o interior do elipsoide (valor de k dentro dos semieixos correspondentes); nas fronteiras elas reduzem a pontos, e fora não há interseção.

Passo 6

Classificação da superfície. Justificativa simples: todos os coeficientes dos termos quadráticos ( 9,6,1) são positivos e a equação é igual a uma constante positiva; isso caracteriza um elipsoide centrado na origem — uma superfície fechada e limitada (sem infinito). Portanto a superfície é um elipsoide com semieixos \;a=2,\;b=\sqrt{6},\;c=6.

Passo 7

Como esboçar o elipsoide passo a passo (dicas práticas para a prova, sem usar régua complicada):
  1. Desenhar os três eixos coordenados x,y,z com a origem no centro.
  2. Marcar os interceptos que calculámos:
    \;x=\pm 2,\;y=\pm \sqrt{6}\\ (\approx\pm 2,449),\;z=\pm 6.
  3. No plano z=0 desenhar a elipse \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{6}=1 passando por (\pm2,0,0) e (0,\pm\sqrt{6},0).
  4. No plano y=0 desenhar a elipse \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{36}=1 (um “elipse vertical” passando por (\pm2,0,0) e (0,0,\pm6)).
  5. No plano x=0 desenhar a elipse \dfrac{y^{2}}{6}+\dfrac{z^{2}}{36}=1 (outro “elipse vertical”).
  6. Fazer uma superfície suave que passe por essas elipses, lembrando que o eixo z é muito mais longo que x e y (o elipsoide é “esticado” na direção z).
  7. Sombreie ou trace contornos horizontais (níveis de z) mostrando elipses cada vez menores à medida que |z| aumenta até 6.
Uma maneira mental simples: imaginar uma esfera achatada/esticada conforme os fatores a,b,c; aqui está alongada em z por ter c=6 muito maior que a e b.

Passo 8

Resumo final (valores e formas sem demonstração extra):
  • forma canônica: \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{6}+\dfrac{z^{2}}{36}=1.
  • semieixos: a=2,\;b=\sqrt{6},\;c=6.

Resposta

Traços: \;z=0:\\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{6}=1;\quad y=0:\\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{36}=1;\quad x=0:\\ \dfrac{y^{2}}{6}+\dfrac{z^{2}}{36}=1.
Seções gerais: z=k:\\\ 9x^{2}+6y^{2}=36-k^{2} (elipses para |k|<6, ponto para |k|=6, vazio para |k|>6); análogas para x=k e y=k com as condições |k|<2 e |k|<\sqrt{6} respetivamente.
Classificação/Esboço: elipsoide centrado na origem com semieixos a=2,\;b=\sqrt{6},\;c=6 (desenhar elipses nas três direções e ligar suavemente).

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