Determine a \cdot b.
a=4 j-3 k, \quad b=2 i+4 j+6 k

Passo 1

O enunciado pede para determinar o produto escalar entre dois vetores dados. Informações fornecidas:
  • \mathbf{a} = 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}.
  • \mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k}.
A pergunta é: calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do produto escalar para vetores em componentes cartesianas. Se
\mathbf{u} = u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}, \qquad \mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k},
então o produto escalar é dado por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Isso vem do fato de que \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são ortogonais e de norma 1, então só os produtos das mesmas direções sobrevivem.

Passo 3

Extraio as componentes de cada vetor a partir das expressões dadas:
  • Para \mathbf{a}=4\mathbf{j}-3\mathbf{k} temos \,a_x=0\,,\;a_y=4\,,\;a_z=-3.
  • Para \mathbf{b}=2\mathbf{i}+4\mathbf{j}+6\mathbf{k} temos \,b_x=2\,,\;b_y=4\,,\;b_z=6.
Obs.: a componente em \mathbf{i} de \mathbf{a} é zero porque não aparece termo com \mathbf{i}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Passo 5

Substituo as componentes numéricas:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0\cdot 2 + 4\cdot 4 + (-3)\cdot 6.

Passo 6

Faço as contas passo a passo:
0\cdot 2 = 0,\qquad 4\cdot 4 = 16,\qquad (-3)\cdot 6 = -18.
Somando:
0 + 16 - 18 = -2.

Passo 7

Interpretação rápida e motivadora: o produto escalar sendo negativo ( -2) indica que o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} é maior que 90^\circ. Boa: você aplicou a definição componente a componente — é exatamente o que costumam pedir em prova.

Resposta

-2

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