Determine um equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva C em torno do eixo especificado, esboce e identifique a superfície.
e eixo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação da superfície que resulta da rotação da curva $ C $ em torno do eixo $ x $. Estamos lidando com superfícies de revolução, que são geradas quando giramos uma curva em torno de um eixo. Para resolver isso, vamos precisar entender bem a equação da curva dada e aplicar a fórmula de rotação apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a curva $ C $. Ela é definida por duas equações:
A segunda equação, $ y = 3 $, nos diz que a curva está localizada num plano paralelo ao eixo $ xz $ a uma distância de 3 unidades no eixo $ y $. A primeira equação, $ (z - 2)^2 = -4(x - 1) $, descreve uma parábola no plano $ xz $, que está deslocada para a direita em 1 unidade no eixo $ x $ e para cima em 2 unidades no eixo $ z $.
Passo 3
Agora, queremos girar essa parábola em torno do eixo $ x $. Para formar a superfície de revolução, consideramos que cada ponto da curva $ C $ gira em um círculo paralelo ao plano $ yz $. A equação geral para uma superfície de revolução ao redor do eixo $ x $ é obtida substituindo $ y $ e $ z $ pelas coordenadas no cilindro polar:
onde $ R $ é a distância do ponto à linha do eixo $ x $.
Passo 4
Vamos adaptar a equação da parábola para incluir essa rotação. A equação original da parábola é:
Ao girar em torno do eixo $ x $, a distância $ R $ do ponto à linha do eixo $ x $ é $ \sqrt{y^2 + (z - 2)^2} $. Substituindo isso na equação da parábola, temos:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação da superfície de revolução é:
Essa superfície é um paraboloide, obtido ao girar a parábola definida por $ (z - 2)^2 = -4(x - 1) $ em torno do eixo $ x $.