Seja f(x, y)=2 x y^2x^2+y^4.
lim (x, y) (0,0)^2 x y^2x^2+y^4 existe? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite da função de duas variáveis f(x,y)=x,y^2x^2+y^4 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite em várias variáveis, e vamos precisar do critério de caminhos diferentes: se acharmos dois caminhos que dão valores diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vejamos o que acontece ao longo do eixo y=0. Substituindo y=0 em f(x,y) temos f(x,0)=xcdot0^2x^2+0^4=0 Logo, ao longo desse caminho o valor tende a 0.

Passo 3

Agora, escolhemos outro caminho que possa dar um resultado diferente. Um caminho clássico é x=y^2. Substituindo x=y^2 em f(x,y) obtemos f(y^2,y)=y^2cdot y^2(y^2)^2+y^4=y^4y^4+y^4=y^42y^4=12 Assim, ao longo desse caminho o valor tende a 1/2.

Passo 4

Como ao aproximar (x,y) de (0,0) pelos caminhos y=0 e x=y^2 obtemos limites diferentes (0 e 1/2), concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois caminhos diferentes (por exemplo y=0 e x=y^2) dão valores distintos.

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