Seja
.
existe? Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite da função de duas variáveis
quando
. O conteúdo aqui é limite em várias variáveis, e vamos precisar do critério de caminhos diferentes: se acharmos dois caminhos que dão valores diferentes, o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vejamos o que acontece ao longo do eixo
. Substituindo
em
temos
Logo, ao longo desse caminho o valor tende a 0.
Passo 3
Agora, escolhemos outro caminho que possa dar um resultado diferente. Um caminho clássico é
. Substituindo
em
obtemos
Assim, ao longo desse caminho o valor tende a
.
Passo 4
Como ao aproximar
de
pelos caminhos
e
obtemos limites diferentes (0 e
), concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe, pois caminhos diferentes (por exemplo
e
) dão valores distintos.