Determine um equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva C em torno do eixo especificado, esboce e identifique a superfície.
e eixo
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva C definida pela interseção do plano y=3 com a parábola (z–2)²=–4(x–1). Precisamos encontrar a equação da superfície de revolução gerada pela rotação de C em torno de dois eixos distintos: (i) a reta L: y=3, z=2; (ii) o eixo z (reta x=y=0). Vamos usar tradução de eixos para o caso (i) e coordenadas cilíndricas para o caso (ii).
Passo 2
Para a rotação em torno da reta L (que é o eixo da parábola): fazemos a translação X’=x, Y’=y–3, Z’=z–2, de modo que L vire o eixo X’. Na nova base, C é dado por Z’²=–4(X’–1), Y’=0. Ao girar essa curva em torno do eixo X’, o raio ρ no plano Y’Z’ satisfaz ρ²=Y’²+Z’²=–4(X’–1). Voltando às coordenadas originais obtemos
Passo 3
Essa é a equação de um paraboloide de revolução, com vértice em (1,3,2) e abertura no sentido decrescente de x.
Passo 4
Para a rotação em torno do eixo z usamos coordenadas cilíndricas: r=\sqrt{x2+y2}. Num ponto da curva original y=3 e x=1-\tfrac{(z-2)^2}{4}, logo o raio inicial r₀ satisfaz
Passo 5
Ao girar C em torno de z, z permanece o mesmo e r varia sempre como r₀, de modo que a superfície fica
Passo 6
Essa segunda superfície é uma superfície de revolução de quarta ordem, obtida pela rotação de uma parábola cujo eixo é perpendicular ao eixo de rotação.
Resposta
Rotação em torno de L:
que é um paraboloide de revolução. Rotação em torno do eixo z:
uma superfície rotacional de ordem 4.