Determine a equação da trajetória do movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples perpendiculares, cujas equações são x=4 sen omega t e y=3 sen(omega t+alpha) para alpha=0, pi2 e pi.

Passo 1

Beleza, então o que a questão pede? A gente tem um movimento em x = 4sin(omega t), y = 3sin(omega t + alpha), e outro em alpha = 0, alpha = pi2, alpha = pi , ambos são movimentos harmônicos simples (MHS). As equações são
e a gente precisa achar a curva que o ponto descreve (a “trajetória”), para três valores diferentes de :
Conteúdo envolvido: eliminação do parâmetro usando identidades trigonométricas (especialmente ) para encontrar a relação entre e .

Passo 2

Caso x = 4sin(omega t), y = 3sin(omega t + 0) = 3sin(omega t) .
  1. Começo escrevendo as equações: sin(omega t) = x4
  2. Perceba que ambas dependem de y = 3 cdot x4 = 34,x . Então basta isolar essa função numa delas e substituir na outra.
  3. Substituo em :
Isso mostra que o ponto se move ao longo da reta .

Passo 3

Caso x = 4sin(omega t), y = 3sinl(omega t + tfracpi2r) .
  1. As equações são y = 3cos(omega t)
  2. Lembra que sin(omega t) = x4, cos(omega t) = y3 . Logo l(x4r)^2 + l(y3r)^2 = 1
  3. Agora isolo e nas duas equações:
  4. Uso a identidade :
Isso é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos e .

Passo 4

Caso x = 4sin(omega t), y = 3sin(omega t + pi) .
  1. As equações viram y = -3sin(omega t)
  2. Mas sin(omega t) = x4 . Então y = -3 cdot x4 = -34,x
  3. De novo isolamos em :
  4. Substituindo em :
Ou seja, a reta .

Resposta

Para cada valor de alpha = 0: & y = tfrac34,x,[6pt] alpha = tfracpi2: & l(tfracx4r)^2 + l(tfracy3r)^2 = 1,[6pt] alpha = pi: & y = -tfrac34,x , a trajetória é:

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