Encontre a solução particular para o PVI dado por
y^prime prime-y & =0 y(0) & =54, y^prime(0)=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me passou é sobre encontrar uma solução particular para uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
y'' - y &= 0 y(0) &= 54, y'(0) &= 12
Para resolver isso, vamos precisar usar o método da equação característica para encontrar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes específicos dessa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da EDO. A equação dada é:
y'' - y = 0
A equação característica associada a essa EDO é obtida substituindo y'' por r^2, y' por r, e y por 1:
r^2 - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de r:
r^2 - 1 = 0 r^2 = 1 r = pm 1
Então, temos duas raízes reais e distintas: r1 = 1 e r2 = -1.

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da EDO:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x y(x) = C1 e^x + C2 e^-x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2.
Primeiro, aplicamos y(0) = 54:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 54 = C1 + C2 (Equação 1) çã
Agora, vamos encontrar y'(x) para aplicar a segunda condição. Derivando a solução geral:
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x
Aplicando y'(0) = 12:
y'(0) = C1 e^0 - C2 e^0 12 = C1 - C2 (Equação 2) çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. C1 + C2 = 54
  2. C1 - C2 = 12
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
(C1 + C2) + (C1 - C2) = 54 + 12 2C1 = 74 C1 = 78
Agora, substituindo C1 na Equação 1:
78 + C2 = 54 C2 = 54 - 78 C2 = 108 - 78 C2 = 38

Resposta

A solução particular do problema é:
y(x) = 78 e^x + 38 e^-x

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