Beleza, vamos lá! O problema que você me passou é sobre encontrar uma solução particular para uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é:
y'' - y &= 0 y(0) &= 54, y'(0) &= 12
Para resolver isso, vamos precisar usar o método da equação característica para encontrar a solução geral da EDO e depois aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes específicos dessa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da EDO. A equação dada é:
y'' - y = 0
A equação característica associada a essa EDO é obtida substituindo y'' por r^2, y' por r, e y por 1:
r^2 - 1 = 0
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de r:
r^2 - 1 = 0 r^2 = 1 r = pm 1
Então, temos duas raízes reais e distintas: r1 = 1 e r2 = -1.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da EDO:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x y(x) = C1 e^x + C2 e^-x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2.