Dê a equação reduzida da superfície esférica
, concêntrica com a superfície esférica
e que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida da superfície esférica
, que é concêntrica com a superfície esférica
dada por
e que passa pelo ponto
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da esfera
na forma reduzida. A forma geral da equação de uma esfera é:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Passo 3
Para encontrar a forma reduzida da equação da esfera
, completamos o quadrado para cada variável.
A equação de
é:
Vamos reorganizar:
Completando o quadrado para cada termo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Substituindo de volta:
Somando as constantes:
Então, a forma reduzida da esfera
é:
Passo 4
Agora, identificamos o centro da esfera
a partir da forma reduzida:
Passo 5
Como a esfera
é concêntrica com
, ela tem o mesmo centro
. A diferença entre as duas será o raio.
Para encontrar o raio de
, precisamos calcular a distância entre o centro
e o ponto
.
Passo 6
A distância
entre dois pontos
e
é dada por:
Aplicando isso para
e
:
Então, o raio de
é
.
Resposta
A equação reduzida da superfície esférica
é:
Ou seja,