Dê a equação reduzida da superfície esférica 
 , concêntrica com a superfície esférica 
  e que passa pelo ponto 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida da superfície esférica 
 , que é concêntrica com a superfície esférica 
  dada por 
  e que passa pelo ponto 
 . Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da esfera 
  na forma reduzida. A forma geral da equação de uma esfera é:
onde 
  é o centro da esfera e 
  é o raio.
Passo 3
Para encontrar a forma reduzida da equação da esfera 
 , completamos o quadrado para cada variável.
A equação de 
  é:
Vamos reorganizar:
Completando o quadrado para cada termo:
- Para 
:  - Para 
:  - Para 
:  
Substituindo de volta:
Somando as constantes:
Então, a forma reduzida da esfera 
  é:
Passo 4
Agora, identificamos o centro da esfera 
  a partir da forma reduzida:
Passo 5
Como a esfera 
  é concêntrica com 
 , ela tem o mesmo centro 
 . A diferença entre as duas será o raio.
Para encontrar o raio de 
 , precisamos calcular a distância entre o centro 
  e o ponto 
 .
Passo 6
A distância 
  entre dois pontos 
  e 
  é dada por:
Aplicando isso para 
  e 
 :
Então, o raio de 
  é 
 .
Resposta
A equação reduzida da superfície esférica 
  é:
Ou seja,