Dê a equação reduzida da superfície esférica S1, concêntrica com a superfície esférica S: x^2+y^2+z^2-2 x+3 y-z=0 e que passa pelo ponto P=(2,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida da superfície esférica , que é concêntrica com a superfície esférica dada por e que passa pelo ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da esfera (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 na forma reduzida. A forma geral da equação de uma esfera é:
onde é o centro da esfera e é o raio.

Passo 3

Para encontrar a forma reduzida da equação da esfera x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 3y - z = 0 , completamos o quadrado para cada variável.
A equação de (x^2 - 2x) + (y^2 + 3y) + (z^2 - z) = 0 é:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Vamos reorganizar:
y^2 + 3y = (y + 32)^2 - 94
Completando o quadrado para cada termo:
  • Para z^2 - z = (z - 12)^2 - 14 : (x - 1)^2 - 1 + (y + 32)^2 - 94 + (z - 12)^2 - 14 = 0
  • Para (x - 1)^2 + (y + 32)^2 + (z - 12)^2 = 1 + 94 + 14 = 144 = 72 : (x - 1)^2 + (y + 32)^2 + (z - 12)^2 = 72
  • Para :
Substituindo de volta:
Somando as constantes:
Então, a forma reduzida da esfera é:

Passo 4

Agora, identificamos o centro da esfera C = (1, -32, 12) a partir da forma reduzida:

Passo 5

Como a esfera é concêntrica com , ela tem o mesmo centro . A diferença entre as duas será o raio.
Para encontrar o raio de , precisamos calcular a distância entre o centro e o ponto .

Passo 6

A distância d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 entre dois pontos d = raiz(2 - 1)^2 + (2 - (-32))^2 + (0 - 12)^2 = raiz1^2 + (72)^2 + (-12)^2 = raiz1 + 494 + 14 = raiz544 = raiz272 = 3raiz62 e é dada por:
Aplicando isso para e :
Então, o raio de é .

Resposta

A equação reduzida da superfície esférica (x - 1)^2 + (y + 32)^2 + (z - 12)^2 = (3raiz62)^2 = 272 é:
(x - 1)^2 + (y + 32)^2 + (z - 12)^2 = 272
Ou seja,

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