Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas, e o objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem e encontrar um fator integrante que vai facilitar nossa vida nessa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
:
Simplificando os termos:
Então, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver essa equação linear. O fator integrante é dado por:
Calculando a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
A equação agora fica:
Isso acontece porque multiplicamos pela fator integrante, que transforma a equação em uma derivada exata.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: