Encontre a solução para o problema de valor inicial dado. Verifique que a função encontrada é de fato uma solução.
t^2 d yd t+t(t+2) y=e^t, y(1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas, e o objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e também a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares de primeira ordem e encontrar um fator integrante que vai facilitar nossa vida nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
dydt + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos toda a equação original por dydt + t(t+2)t^2 y = e^tt^2 :
dydt + ( t+2t ) y = e^tt^2
Simplificando os termos:
Então, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt , que é essencial para resolver essa equação linear. O fator integrante é dado por:
integral t+2t dt = integral (1 + 2t) dt = t + 2 ln |t|
Calculando a integral de mu(t) = e^t + 2 ln t = e^t cdot t^2 :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante t^2 e^t dydt + t^2 e^t cdot t+2t y = t^2 e^t cdot e^tt^2 :
t^2 e^t dydt + (t + 2) e^t y = e^2t
Simplificando os termos:
ddt ( t^2 e^t y ) = e^2t
A equação agora fica:
Isso acontece porque multiplicamos pela fator integrante, que transforma a equação em uma derivada exata.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddt ( t^2 e^t y ) dt = integral e^2t dt :
t^2 e^t y = e^2t2 + C
A integral à esquerda simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para y(t) = e^2t2 + Ct^2 e^t = e^2t2 t^2 e^t + Ct^2 e^t = e^t2 t^2 + Ct^2 e^t :
y(t) = e^t2 t^2 + Ct^2 e^t
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial 0 = e^12 cdot 1^2 + C1^2 e^1 Rightarrow 0 = e2 + Ce para encontrar a constante 0 = e^22 + C Rightarrow C = -e^22 :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Substituímos y(t) = e^t2 t^2 - e^22 t^2 e^t = e^t2 t^2 - e^2 - t2 t^2 de volta na expressão de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^t - e^2 - t2 t^2

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