Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da adição ou da substituição.
\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=6 \\\\ 2 x+3 y=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e nos dá duas equações. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que se pede.
  • Sistema dado:
\begin{cases} 3x+2y=6\\[4pt] 2x+3y=5 \end{cases}
  • O que é pedido: encontrar os valores de x e y que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, encontrar o par (x,y) solução do sistema).]

Passo 2

O que significa “resolver um sistema 2×2”? Significa achar um par (x,y) tal que, substituindo esses valores em cada equação, ambas sejam verdadeiras. Existem dois métodos simples e comuns: substituição e adição (eliminação). Vou explicar a ideia da eliminação (método da adição), que é o que vou usar aqui:
  • Ideia do método da adição (eliminação): multiplicar as equações por constantes de modo que, ao somá-las, um dos dois incógnitas seja eliminado (os coeficientes somem a zero). A seguir resolve-se a equação resultante para a incógnita que restou e substitui-se esse valor numa das equações originais para obter a outra incógnita.

Passo 3

Por que escolhi o método da adição? Os coeficientes são pequenos e simétricos ( 3 e 2), então é rápido multiplicar por constantes para obter coeficientes opostos e eliminar uma variável. Isso costuma ser mais ágil que a substituição quando os coeficientes são assim.
Vou eliminar primeiro x. Para isso procuro multiplicar as equações para obter coeficientes de x opostos (por exemplo 6 e -6).

Passo 4

Multiplico a primeira equação por 2 (para transformar 3x em 6x):
2\cdot(3x+2y=6)\\ \Longrightarrow\\\ 6x+4y=12.

Passo 5

Multiplico a segunda equação por -3 (para transformar 2x em -6x):
-3\cdot(2x+3y=5)\\ \Longrightarrow\\\ -6x-9y=-15.

Passo 6

Agora somo as duas equações obtidas para eliminar x:
(6x+4y=12)+(-6x-9y=-15)\\ \Longrightarrow\\ (6x-6x)+(4y-9y)=12-15,
ou seja,
-5y=-3.

Passo 7

Resolver -5y=-3. Isolando y:
y=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}.
Portanto \displaystyle y=\frac{3}{5}.

Passo 8

Agora substituo \displaystyle y=\frac{3}{5} em uma das equações originais para achar x. Uso a segunda equação 2x+3y=5:
2x+3\cdot\frac{3}{5}=5.
Calculo o termo 3\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{5}. Então:
2x+\frac{9}{5}=5.
Transformo 5 em fração com denominador 5: 5=\frac{25}{5}. Subtraio \frac{9}{5} dos dois lados:
2x=\frac{25}{5}-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}.
Divido por 2:
x=\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{5}=\frac{8}{5}.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): substituo \displaystyle x=\frac{8}{5} e \displaystyle y=\frac{3}{5} nas duas equações originais.
Primeira equação:
3x+2y=3\cdot\frac{8}{5}+2\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}+\frac{6}{5}=\frac{30}{5}=6.
Segunda equação:
2x+3y=2\cdot\frac{8}{5}+3\cdot\frac{3}{5}=\frac{16}{5}+\frac{9}{5}=\frac{25}{5}=5.
As duas equações são satisfeitas, então a solução está correta.

Resposta

\displaystyle x=\frac{8}{5},\\ y=\frac{3}{5}

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