Encontre a solução dos sistemas lineares usando o método da adição ou da substituição. \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=6 \\\\ 2 x+3 y=5\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear e nos dá duas equações. Vou listar claramente o que o problema fornece e o que se pede.
Sistema dado:
\begin{cases} 3x+2y=6\\[4pt] 2x+3y=5 \end{cases}
O que é pedido: encontrar os valores de x e y que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, encontrar o par (x,y) solução do sistema).]
Passo 2
O que significa “resolver um sistema 2×2”? Significa achar um par (x,y) tal que, substituindo esses valores em cada equação, ambas sejam verdadeiras. Existem dois métodos simples e comuns: substituição e adição (eliminação). Vou explicar a ideia da eliminação (método da adição), que é o que vou usar aqui:
Ideia do método da adição (eliminação): multiplicar as equações por constantes de modo que, ao somá-las, um dos dois incógnitas seja eliminado (os coeficientes somem a zero). A seguir resolve-se a equação resultante para a incógnita que restou e substitui-se esse valor numa das equações originais para obter a outra incógnita.
Passo 3
Por que escolhi o método da adição? Os coeficientes são pequenos e simétricos (3 e 2), então é rápido multiplicar por constantes para obter coeficientes opostos e eliminar uma variável. Isso costuma ser mais ágil que a substituição quando os coeficientes são assim.
Vou eliminar primeiro x. Para isso procuro multiplicar as equações para obter coeficientes de x opostos (por exemplo 6 e -6).
Passo 4
Multiplico a primeira equação por 2 (para transformar 3x em 6x):
2\cdot(3x+2y=6)\\ \Longrightarrow\\\ 6x+4y=12.
Passo 5
Multiplico a segunda equação por -3 (para transformar 2x em -6x):
-3\cdot(2x+3y=5)\\ \Longrightarrow\\\ -6x-9y=-15.
Passo 6
Agora somo as duas equações obtidas para eliminar x: