Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre a sua solução geral.
\frac{d y}{d x}=\frac{a x-b y}{b x-c}

Passo 1

Enunciado e o que se pede (dados que o enunciado fornece):
  • A equação diferencial dada é \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{a x-b y}{b x-c}.
  • As constantes a, b e c são parâmetros (constantes).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar se a equação é exata.
  • Se for exata, encontrar a solução geral (a forma implícita ou explícita da solução).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 (sem resolver ainda).
Partindo de \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{a x-b y}{b x-c} multiplicamos ambos os lados por dx e por b x-c:
(b x-c)\,\frac{d y}{d x}=a x-b y.
Reescrevendo como forma diferencial:
(a x-b y)\,dx + (-b x + c)\,dy = 0.
Logo, podemos identificar
M(x,y)=a x-b y,\qquad N(x,y)=-b x + c.

Passo 3

Teste de exatidão — pequeno resumo da ideia:
  • Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que d\Psi=M\,dx+N\,dy.
  • Num domínio simplesmente conexo, uma condição prática necessária e suficiente é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(a x-b y)=-b, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-b x + c)=-b.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=-b, a equação é exata (em regiões onde as funções são definidas). Observação prática: a equação só fica mal definida onde b x-c=0 (se b\neq0), então a solução será válida em intervalos que não contenham esses pontos singulares.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N — método passo a passo.
Integramos M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int (a x - b y)\,dx = \frac{a}{2}x^2 - b x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos informação sobre dependência só em y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \Psi_y=N.
Calcule \Psi_y a partir da expressão encontrada:
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{a}{2}x^2 - b x y + h(y)\right) = -b x + h'(y).
Igualando a N(x,y):
-b x + h'(y) = -b x + c.
Assim h'(y)=c. Integrando em y:
h(y)=c y + C_0,
onde C_0 é uma constante real. Substituindo em \Psi:
\Psi(x,y)=\frac{a}{2}x^2 - b x y + c y + C_0.
A solução implícita geral da equação exata é \Psi(x,y)= constante. Eliminando C_0 e escrevendo a constante geral como C, obtemos a solução implícita
\frac{a}{2}x^2 - b x y + c y = C.

Passo 6

Forma explícita para y (opcional) e observações sobre o domínio.
Da expressão implícita podemos isolar y:
y(-b x + c)=C-\frac{a}{2}x^2
portanto
y=\frac{C-\tfrac{a}{2}x^2}{-b x + c}=\frac{\tfrac{a}{2}x^2 - C}{b x - c},
válida onde b x - c \neq 0. Se b=0 a fórmula continua consistente (então N=c e a solução implícita reduz-se a \tfrac{a}{2}x^2 + c y = C).

Resposta

\displaystyle \frac{a}{2}x^2 - b x y + c y = C
\displaystyle y=\frac{\tfrac{a}{2}x^2 - C}{b x - c} (válida para b x - c\neq0)

Exercícios relacionados