Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre a sua solução geral.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (dados que o enunciado fornece):
- A equação diferencial dada é
. - As constantes
, e são parâmetros (constantes).
O que o enunciado pede: - Determinar se a equação é exata.
- Se for exata, encontrar a solução geral (a forma implícita ou explícita da solução).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
(sem resolver ainda).
Partindo de multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Partindo de
Reescrevendo como forma diferencial:
Logo, podemos identificar
Passo 3
Teste de exatidão — pequeno resumo da ideia:
- Uma equação
é exata se existe uma função potencial tal que . - Num domínio simplesmente conexo, uma condição prática necessária e suficiente é
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata (em regiões onde as funções são definidas). Observação prática: a equação só fica mal definida onde
(se
), então a solução será válida em intervalos que não contenham esses pontos singulares.
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
e
— método passo a passo.
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
Integramos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos informação sobre dependência só em
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calcule a partir da expressão encontrada:
Calcule
Igualando a
:
Assim
. Integrando em
:
onde
é uma constante real. Substituindo em
:
A solução implícita geral da equação exata é
constante. Eliminando
e escrevendo a constante geral como
, obtemos a solução implícita
Passo 6
Forma explícita para
(opcional) e observações sobre o domínio.
Da expressão implícita podemos isolar :
Da expressão implícita podemos isolar
portanto
válida onde
. Se
a fórmula continua consistente (então
e a solução implícita reduz-se a
).