Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre a sua solução geral.
(2 x+4 y)+(2 x-2 y) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+4y)+(2x-2y)\,y'=0
O que pede:
  • Determinar se a equação é exata.
  • Caso seja exata, obter a solução geral.
Informações claras que extraí do enunciado:
  • A equação pode ser escrita na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2x+4y e N(x,y)=2x-2y.
  • Preciso verificar a condição de exatidão e, se não for exata, aplicar um método adequado para resolver a ODE.

Passo 2

Escrevendo a equação na forma diferencial e verificando exatidão:
A forma diferencial é
(2x+4y)\,dx+(2x-2y)\,dy=0,
portanto
M(x,y)=2x+4y,\qquad N(x,y)=2x-2y.
Calculo as derivadas parciais necessárias para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=4, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=4 \neq 2=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação NÃO é exata. (Resposta parcial: não exata.)

Passo 3

Escolha do método para resolver (explicação didática):
  • Mesmo não sendo exata, é possível resolver a equação por outro método.
  • Observação útil: M e N são funções lineares em x,y. Verifico homogeneidade: M(\lambda x,\lambda y)=\lambda(2x+4y)=\lambda M(x,y), \qquad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda(2x-2y)=\lambda N(x,y).Logo M e N são homogêneos de grau 1. Isso indica que a equação é do tipo homogêneo em y e x, e que a substituição clássica y=ux \quad(\text{ou } u=\tfrac{y}{x})costuma simplificar a equação transformando-a em uma equação separável em u e x.
  • Vou, portanto, aplicar y=ux. Essa é uma técnica padrão para ODEs onde a razão y/x aparece naturalmente.

Passo 4

Fazer a substituição y=ux e derivar:
  • Como y=ux, \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
  • A equação dada, escrita como y'=\dfrac{dy}{dx}, pode ser reorganizada para: \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+4y}{2x-2y}=-\frac{x+2y}{x-y}.
  • Substituindo y=ux nessa expressão: u+x\frac{du}{dx}=-\frac{1+2u}{1-u}.
  • Isolando x\frac{du}{dx}: x\frac{du}{dx}=-\frac{1+2u}{1-u}-u =\frac{- (1+2u) - u(1-u)}{1-u} =\frac{u^{2}-3u-1}{1-u}.
  • Portanto obtemos a equação separável \frac{1-u}{u^{2}-3u-1}\,du=\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados (explicando técnica de integração):
  • Vou integrar \int \frac{1-u}{u^{2}-3u-1}\,du = \int \frac{dx}{x}.
  • Para integrar à esquerda, escrevo o numerador como combinação da derivada do denominador mais constante:
    • A derivada do denominador D(u)=u^{2}-3u-1 é D'(u)=2u-3.
    • Procuro A,B tais que 1-u = A(2u-3)+B.Igualando coeficientes: -1 = 2A \Rightarrow A=-\tfrac{1}{2}, \qquad 1 = -3A + B \Rightarrow B=-\tfrac{1}{2}.
    • Logo \frac{1-u}{u^{2}-3u-1} = -\tfrac{1}{2}\frac{2u-3}{u^{2}-3u-1} -\tfrac{1}{2}\frac{1}{u^{2}-3u-1}.
  • Integro termo a termo:
    • O primeiro termo dá logaritmo: -\tfrac{1}{2}\int \frac{2u-3}{u^{2}-3u-1}\,du = -\tfrac{1}{2}\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert.
    • O segundo termo requer decomposição em raízes do quadrático. As raízes do denominador são r_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2},\qquad r_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2},e vale a identidade padrão \int\frac{du}{u^{2}-3u-1}=\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert.Portanto -\tfrac{1}{2}\int\frac{du}{u^{2}-3u-1}=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert.
  • Somando as partes, a integral à esquerda é -\tfrac{1}{2}\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert -\tfrac{1}{2\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert.
  • A integral à direita é \int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 6

Organizar o resultado e voltar para y e x:
  • A igualdade integradaa dá -\tfrac{1}{2}\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert -\tfrac{1}{2\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert = \ln\lvert x\rvert + C.
  • Multiplico ambos os lados por -2 e absorvo constantes em uma constante C_{1}: \ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert + \frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert = -2\ln\lvert x\rvert + C_{1}.
  • Exponenciando e escrevendo u=\dfrac{y}{x} obtemos uma forma implícita da solução geral (absorvendo sinais em uma constante arbitrária C): \bigl(u^{2}-3u-1\bigr)\left(\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right)^{\!1/\sqrt{13}}=C\,x^{-2}.
  • Substituindo u=\dfrac{y}{x} e simplificando x^{-2} com os fatores que surgem (multiplicando por x^{2}) dá uma forma mais direta e limpa da solução implícita: \bigl(y^{2}-3xy-x^{2}\bigr)\left(\frac{y-r_{1}x}{y-r_{2}x}\right)^{\!1/\sqrt{13}}=C,onde r_{1}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}, r_{2}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2} e C é constante arbitrária.

Resposta

Não é exata.
Solução geral (implícita):
\bigl(y^{2}-3xy-x^{2}\bigr)\left(\frac{y-\tfrac{3+\sqrt{13}}{2}\,x}{y-\tfrac{3-\sqrt{13}}{2}\,x}\right)^{\!1/\sqrt{13}}=C,
com C constante arbitrária.

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