a equação NÃO é exata. (Resposta parcial: não exata.)
Passo 3
Escolha do método para resolver (explicação didática):
Mesmo não sendo exata, é possível resolver a equação por outro método.
Observação útil: M e N são funções lineares em x,y. Verifico homogeneidade:M(\lambda x,\lambda y)=\lambda(2x+4y)=\lambda M(x,y), \qquad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda(2x-2y)=\lambda N(x,y).Logo M e N são homogêneos de grau 1. Isso indica que a equação é do tipo homogêneo em y e x, e que a substituição clássicay=ux \quad(\text{ou } u=\tfrac{y}{x})costuma simplificar a equação transformando-a em uma equação separável em u e x.
Vou, portanto, aplicar y=ux. Essa é uma técnica padrão para ODEs onde a razão y/x aparece naturalmente.
Passo 4
Fazer a substituição y=ux e derivar:
Como y=ux,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}.
A equação dada, escrita como y'=\dfrac{dy}{dx}, pode ser reorganizada para:\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+4y}{2x-2y}=-\frac{x+2y}{x-y}.
O primeiro termo dá logaritmo:-\tfrac{1}{2}\int \frac{2u-3}{u^{2}-3u-1}\,du = -\tfrac{1}{2}\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert.
O segundo termo requer decomposição em raízes do quadrático. As raízes do denominador sãor_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2},\qquad r_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2},e vale a identidade padrão\int\frac{du}{u^{2}-3u-1}=\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert.Portanto-\tfrac{1}{2}\int\frac{du}{u^{2}-3u-1}=-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert.
Somando as partes, a integral à esquerda é-\tfrac{1}{2}\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert -\tfrac{1}{2\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert.
A integral à direita é\int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert + C.
Passo 6
Organizar o resultado e voltar para y e x:
A igualdade integradaa dá-\tfrac{1}{2}\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert -\tfrac{1}{2\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert = \ln\lvert x\rvert + C.
Multiplico ambos os lados por -2 e absorvo constantes em uma constante C_{1}:\ln\lvert u^{2}-3u-1\rvert + \frac{1}{\sqrt{13}}\ln\left\lvert\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right\rvert = -2\ln\lvert x\rvert + C_{1}.
Exponenciando e escrevendo u=\dfrac{y}{x} obtemos uma forma implícita da solução geral (absorvendo sinais em uma constante arbitrária C):\bigl(u^{2}-3u-1\bigr)\left(\frac{u-r_{1}}{u-r_{2}}\right)^{\!1/\sqrt{13}}=C\,x^{-2}.
Substituindo u=\dfrac{y}{x} e simplificando x^{-2} com os fatores que surgem (multiplicando por x^{2}) dá uma forma mais direta e limpa da solução implícita:\bigl(y^{2}-3xy-x^{2}\bigr)\left(\frac{y-r_{1}x}{y-r_{2}x}\right)^{\!1/\sqrt{13}}=C,onde r_{1}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}, r_{2}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2} e C é constante arbitrária.