Resolva as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (família de curvas implícitas/ explícitas que satisfazem essa igualdade), indicando constantes de integração e possíveis soluções singulares.
Informações dadas:
- A equação está escrita como uma relação entre
e . - Coeficientes são funções lineares em
e .
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação na forma mais comum
. Parto de
Dividindo por
e por
(quando
) obtemos
Essa é a equação diferencial ordinária a resolver.
Passo 3
Vou verificar se a função do lado direito é homogênea (isto facilita uma substituição padrão). Uma função
é homogênea de grau zero se trocar
por
não altera
. Aqui
é razão de duas formas lineares (grau 1), então
. Logo
é homogênea de grau zero. Para equações com essa propriedade é conveniente a substituição
onde
é função de
.
Passo 4
Explico a regra da cadeia que usarei: se
, então
Essa fórmula vem de derivar
usando produto:
.
Passo 5
Substituo
na equação
. Do lado direito:
Do lado esquerdo uso
. Igualando:
Isolo
:
Faço a subtração no lado direito com denominador comum
:
Portanto:
Passo 6
Agora separo variáveis para integrar. Reescrevo como
Explicação: coloquei todos os termos em
do lado esquerdo e
do lado direito; isso é permitido pois para
podemos dividir por
e para
o denominador não anula (mais adiante tratamos esses casos especiais).
Passo 7
Integro ambos os lados. Primeiro trato a integral à esquerda:
Faço decomposição em frações parciais. Note que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
Somando as equações dá
.
Assim
Integro termo a termo:
Cuidado com sinais:
. Logo
Portanto a integral esquerda é
A integral direita é
Juntando (absorvendo constantes numa só) obtemos
Passo 8
Faço exponenciação para eliminar logaritmos. Escrevo
o que implica
onde
. Podemos incorporar sinais na constante, então escrevo de forma mais simples sem módulo específico:
com constante arbitrária
. Agora volto à variável original
usando
. Faço a substituição com cuidado:
Então
Logo a igualdade
leva a
Para
podemos cancelar o
e obter a forma implícita simples da solução geral:
onde
é constante arbitrária real. Essa é a família de curvas solução da equação diferencial (domínio onde
e
conforme necessário).
Passo 9
Faltam tratar soluções singulares possíveis correspondentes a
(ou seja
), que ficaram fora da separação porque
anula. Procuro soluções do tipo reta
com
constante. Substituo
em
Se
então
. O lado direito fica
. Igualando:
Multiplico ambos os lados por
:
Assim
. Portanto as retas
são soluções particulares (soluções singulares) da equação diferencial. Elas não aparecem na forma implícita
porque aí
para
e a expressão diverge; para
também há singularidade no desenvolvimento anterior. Logo temos de listá-las separadamente.
Passo 10
Resumo e observações finais (rápidas e encorajadoras):
- A solução geral implícita (para
e curvas que não sejam as retas singulares) é
- Além disso, existem as soluções singulares lineares
e . - Está tudo certo: se ficar em dúvida em prova, explique que a equação é homogênea e que a substituição
leva a uma equação separável — esse é o caminho curto e seguro.
Vai dar tudo certo na prova — você já viu o passo a passo completo para repetir durante o treino!