Resolva as seguintes equações diferenciais:
(3 y+x) d x-(3 x+y) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
(3y+x)\,dx-(3x+y)\,dy=0.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação diferencial (família de curvas implícitas/ explícitas que satisfazem essa igualdade), indicando constantes de integração e possíveis soluções singulares.
Informações dadas:
  • A equação está escrita como uma relação entre dx e dy.
  • Coeficientes são funções lineares em x e y.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação na forma mais comum \dfrac{dy}{dx} = \ldots. Parto de
(3y+x)\,dx=(3x+y)\,dy.
Dividindo por dx e por 3x+y (quando 3x+y\neq0) obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{3y+x}{3x+y}.
Essa é a equação diferencial ordinária a resolver.

Passo 3

Vou verificar se a função do lado direito é homogênea (isto facilita uma substituição padrão). Uma função F(x,y) é homogênea de grau zero se trocar (x,y) por (\lambda x,\lambda y) não altera F. Aqui
F(x,y)=\frac{3y+x}{3x+y}
é razão de duas formas lineares (grau 1), então F(\lambda x,\lambda y)=F(x,y). Logo F é homogênea de grau zero. Para equações com essa propriedade é conveniente a substituição
y=vx,
onde v é função de x.

Passo 4

Explico a regra da cadeia que usarei: se y=v(x)\,x, então
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Essa fórmula vem de derivar y(x)=xv(x) usando produto: y' = 1\cdot v + x\cdot v'.

Passo 5

Substituo y=vx na equação \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y+x}{3x+y}. Do lado direito:
\frac{3y+x}{3x+y}=\frac{3(vx)+x}{3x+(vx)}=\frac{3v+1}{3+v}.
Do lado esquerdo uso \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}. Igualando:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{3v+1}{3+v}.
Isolo x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{3v+1}{3+v}-v.
Faço a subtração no lado direito com denominador comum 3+v:
\frac{3v+1}{3+v}-v=\frac{3v+1-v(3+v)}{3+v}=\frac{3v+1-3v-v^2}{3+v}=\frac{1-v^2}{3+v}.
Portanto:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1-v^2}{3+v}.

Passo 6

Agora separo variáveis para integrar. Reescrevo como
\frac{3+v}{1-v^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Explicação: coloquei todos os termos em v do lado esquerdo e x do lado direito; isso é permitido pois para x\neq0 podemos dividir por x e para v\neq\pm1 o denominador não anula (mais adiante tratamos esses casos especiais).

Passo 7

Integro ambos os lados. Primeiro trato a integral à esquerda:
\int \frac{3+v}{1-v^2}\,dv.
Faço decomposição em frações parciais. Note que 1-v^2=(1-v)(1+v)\). Procuro constantes \(A,B\) tais que \[\frac{3+v}{1-v^2}=\frac{A}{1-v}+\frac{B}{1+v}.
Multiplicando por (1-v)(1+v) obtemos
3+v = A(1+v)+B(1-v)=(A+B)+(A-B)v.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=3,\\\ A-B=1. \end{cases}
Somando as equações dá 2A=4\Rightarrow A=2\]. Então \(B=1.
Assim
\frac{3+v}{1-v^2}=\frac{2}{1-v}+\frac{1}{1+v}.
Integro termo a termo:
\int\frac{2}{1-v}\,dv+\int\frac{1}{1+v}\,dv.
Cuidado com sinais: \int \dfrac{1}{1-v}\,dv=-\ln|1-v|. Logo
\int \frac{2}{1-v}\,dv = -2\ln|1-v|, \qquad \int\frac{1}{1+v}\,dv=\ln|1+v|.
Portanto a integral esquerda é
\ln|1+v|-2\ln|1-v|+C.
A integral direita é
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Juntando (absorvendo constantes numa só) obtemos
\ln|1+v|-2\ln|1-v|=\ln|x|+C.

Passo 8

Faço exponenciação para eliminar logaritmos. Escrevo
\ln\!\left(\frac{|1+v|}{|1-v|^2}\right)=\ln|x|+C
o que implica
\frac{|1+v|}{|1-v|^2}=C'|x|,
onde C'=e^C>0. Podemos incorporar sinais na constante, então escrevo de forma mais simples sem módulo específico:
\frac{1+v}{(1-v)^2}=C x,
com constante arbitrária C\in\mathbb{R}. Agora volto à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Faço a substituição com cuidado:
1+v=\frac{x+y}{x},\qquad 1-v=\frac{x-y}{x}.
Então
\frac{1+v}{(1-v)^2}=\frac{\dfrac{x+y}{x}}{\left(\dfrac{x-y}{x}\right)^2} = \frac{x+y}{x}\cdot\frac{x^2}{(x-y)^2}=x\cdot\frac{x+y}{(x-y)^2}.
Logo a igualdade \dfrac{1+v}{(1-v)^2}=C x leva a
x\cdot\frac{x+y}{(x-y)^2}=C x.
Para x\neq0 podemos cancelar o x e obter a forma implícita simples da solução geral:
\frac{x+y}{(x-y)^2}=C,
onde C é constante arbitrária real. Essa é a família de curvas solução da equação diferencial (domínio onde x\neq0 e x\neq y conforme necessário).

Passo 9

Faltam tratar soluções singulares possíveis correspondentes a v=\pm1 (ou seja y=\pm x), que ficaram fora da separação porque 1-v^2 anula. Procuro soluções do tipo reta y=mx com m constante. Substituo y=mx em
\frac{dy}{dx}=\frac{3y+x}{3x+y}.
Se y=mx então \dfrac{dy}{dx}=m. O lado direito fica \dfrac{3m+1}{3+m}. Igualando:
m=\frac{3m+1}{3+m}.
Multiplico ambos os lados por 3+m:
m(3+m)=3m+1 \quad\Rightarrow\quad 3m+m^2=3m+1 \quad\Rightarrow\quad m^2=1.
Assim m=\pm1. Portanto as retas
y=x\quad\text{e}\quad y=-x
são soluções particulares (soluções singulares) da equação diferencial. Elas não aparecem na forma implícita \dfrac{x+y}{(x-y)^2}=C porque aí x-y=0 para y=x e a expressão diverge; para y=-x também há singularidade no desenvolvimento anterior. Logo temos de listá-las separadamente.

Passo 10

Resumo e observações finais (rápidas e encorajadoras):
  • A solução geral implícita (para x\neq0 e curvas que não sejam as retas singulares) é
\frac{x+y}{(x-y)^2}=C,\qquad C\in\mathbb{R}.
  • Além disso, existem as soluções singulares lineares y=x e y=-x.
  • Está tudo certo: se ficar em dúvida em prova, explique que a equação é homogênea e que a substituição y=vx leva a uma equação separável — esse é o caminho curto e seguro.
Vai dar tudo certo na prova — você já viu o passo a passo completo para repetir durante o treino!

Resposta

\dfrac{x+y}{(x-y)^2}=C,\\ C\in\mathbb{R}
y=x
y=-x

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