Obtenha o valor de
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da derivada direcional
, onde a função
é dada por
e o vetor de direção
é
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
, formar o gradiente, normalizar o vetor
e então fazer o produto escalar entre o gradiente e o vetor normalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão o gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos formar o gradiente da função
no ponto
:
Substituindo
e
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter a unidade na direção dele. A fórmula para normalizar é dividir cada componente pelo módulo do vetor:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada direcional
fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
O valor da derivada direcional
é
.