Obtenha o valor de Du f(1,-1), onde
l f=x-yx y+2 u=(3,-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor da derivada direcional f = x - yx y + 2 , onde a função é dada por
e o vetor de direção é . Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de , formar o gradiente, normalizar o vetor e então fazer o produto escalar entre o gradiente e o vetor normalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partialpartial x ( x - yx y + 2 ) em relação a fy = partialpartial y ( x - yx y + 2 ) e . Essas derivadas nos dão o gradiente da função, que é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular fx = (1)(x y + 2) - (x - y)(y)(x y + 2)^2 = (x y + 2) - y (x - y)(x y + 2)^2 = x y + 2 - x y + y^2(x y + 2)^2 = y^2 + 2(x y + 2)^2 . Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular fy = (-1)(x y + 2) - (x - y)(x)(x y + 2)^2 = -(x y + 2) - x (x - y)(x y + 2)^2 = -x y - 2 - x^2 + x y(x y + 2)^2 = -x^2 - 2(x y + 2)^2 :

Passo 5

Agora que temos nabla f(1,-1) = ( fx(1,-1), fy(1,-1) ) e fx(1,-1) = (-1)^2 + 2(1 cdot (-1) + 2)^2 = 1 + 2( -1 + 2)^2 = 31^2 = 3 , podemos formar o gradiente da função fy(1,-1) = -(1)^2 - 2(1 cdot (-1) + 2)^2 = -1 - 21^2 = -31 = -3 no ponto nabla f(1,-1) = (3, -3) :
Substituindo e :
Então,

Passo 6

Agora, vamos normalizar o vetor u = u|u| = (3, -4)raiz3^2 + (-4)^2 = (3, -4)5 = ( 35, -45 ) para obter a unidade na direção dele. A fórmula para normalizar é dividir cada componente pelo módulo do vetor:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional Du f(1,-1) = nabla f(1,-1) cdot u = (3, -3) cdot ( 35, -45 ) = 3 cdot 35 + (-3) cdot ( -45 ) = 95 + 125 = 215 = 4.2 fazendo o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

O valor da derivada direcional é .

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