Determine as equações cartesianas das eurvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede duas coisas: (i) achar a(s) equação(ões) cartesiana(s) da curva correspondente e (ii) esboçar a curva indicando com uma seta a direção em que a curva é percorrida quando o parâmetro
aumenta. Vou listar explicitamente os dados relevantes:
- A coordenada
é dada por . - A coordenada
é dada por . - O parâmetro
varia por todos os números reais, .
Passo 2
Ideia para transformar uma curva paramétrica em equação cartesiana (aulas rápidas): normalmente isolamos o parâmetro em uma das coordenadas e substituímos na outra. Aqui a primeira coordenada já é muito simples:
. Isso significa que podemos escrever
em função de
facilmente:
Isto é uma aplicação direta da definição da parametrização; não tem mistério.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão para
. A coordenada
foi dada por
. Substituindo:
Pronto: eliminamos o parâmetro e obtivemos uma relação entre
e
.
Passo 4
Interpretação geométrica da relação obtida: a equação
é uma equação de reta no plano. É uma reta com inclinação
(ou seja, sobe 1 unidade em
quando
aumenta 1) e intercepto vertical em
(quando
,
).
Passo 5
Verificação por pontos e interceptos (útil para esboçar no papel): pegando alguns valores de
(lembre que
):
- Para
tem-se . - Para
tem-se . - Para
tem-se .
Esses três pontos estão na retae servem para traçar a reta no esboço. Como varia por todos os reais, a reta inteira é percorrida.
Passo 6
Direção da parametrização (como saber para onde apontar a seta): calcule a derivada do vetor posição para obter o vetor velocidade (tangente):
Esse vetor é constante, então em todo ponto a reta é percorrida com a mesma direção e sentido dados por
. Isso significa que quando
aumenta a curva é percorrida no sentido em que tanto
quanto
aumentam — ou seja, da região sudoeste para a região nordeste ao longo da reta.
Passo 7
Como esboçar (passo a passo prático que dá para fazer rápido na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque os pontos
e (pegos dos cálculos do Passo 5). - Trace a linha reta que passa por esses pontos; estenda para ambos os lados porque
. - Desenhe uma seta ao longo da reta apontando no sentido em que
aumenta (para a direita) e também aumenta (para cima) — ou seja, uma seta apontando na diagonal nordeste, indicando o sentido do vetor . - Opcional: marque alguns valores de
próximos aos pontos para indicar a posição quando tem esses valores (por exemplo, em , em ).
Passo 8
Resumo conceitual e dica para prova: sempre que uma parametrização tiver uma coordenada igual ao próprio parâmetro (aqui
), a eliminação do parâmetro é imediata. Se as duas coordenadas forem funções lineares de
com o mesmo coeficiente em
(aqui ambos têm coeficiente
), o resultado será uma reta. O vetor velocidade
indica o sentido de percurso; se for constante, o movimento é uniforme ao longo da curva.
Resposta
A reta é percorrida no sentido do vetor
(para nordeste) quando
aumenta.