Determine as equações cartesianas das eurvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
\vec{r}_{1}(t)=(t, t-2), \quad t \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\vec{r}_{1}(t) = (t,\; t-2),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas: (i) achar a(s) equação(ões) cartesiana(s) da curva correspondente e (ii) esboçar a curva indicando com uma seta a direção em que a curva é percorrida quando o parâmetro t aumenta. Vou listar explicitamente os dados relevantes:
  • A coordenada x é dada por x=t.
  • A coordenada y é dada por y=t-2.
  • O parâmetro t varia por todos os números reais, t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Ideia para transformar uma curva paramétrica em equação cartesiana (aulas rápidas): normalmente isolamos o parâmetro em uma das coordenadas e substituímos na outra. Aqui a primeira coordenada já é muito simples: x=t. Isso significa que podemos escrever t em função de x facilmente:
t = x.
Isto é uma aplicação direta da definição da parametrização; não tem mistério.

Passo 3

Agora substituímos t=x na expressão para y. A coordenada y foi dada por y=t-2. Substituindo:
y = t-2 = x-2.
Pronto: eliminamos o parâmetro e obtivemos uma relação entre x e y.

Passo 4

Interpretação geométrica da relação obtida: a equação
y = x-2
é uma equação de reta no plano. É uma reta com inclinação 1 (ou seja, sobe 1 unidade em y quando x aumenta 1) e intercepto vertical em -2 (quando x=0, y=-2).

Passo 5

Verificação por pontos e interceptos (útil para esboçar no papel): pegando alguns valores de t (lembre que t=x):
  • Para t=0 tem-se (x,y)=(0,\,-2).
  • Para t=2 tem-se (x,y)=(2,\;0).
  • Para t=-1 tem-se (x,y)=(-1,\,-3).
    Esses três pontos estão na reta y=x-2 e servem para traçar a reta no esboço. Como t varia por todos os reais, a reta inteira é percorrida.

Passo 6

Direção da parametrização (como saber para onde apontar a seta): calcule a derivada do vetor posição para obter o vetor velocidade (tangente):
\vec{r}_{1}'(t) = \bigl(1,\;1\bigr).
Esse vetor é constante, então em todo ponto a reta é percorrida com a mesma direção e sentido dados por \bigl(1,\;1\bigr). Isso significa que quando t aumenta a curva é percorrida no sentido em que tanto x quanto y aumentam — ou seja, da região sudoeste para a região nordeste ao longo da reta.

Passo 7

Como esboçar (passo a passo prático que dá para fazer rápido na prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque os pontos (0,-2) e (2,0) (pegos dos cálculos do Passo 5).
  2. Trace a linha reta que passa por esses pontos; estenda para ambos os lados porque t\in\mathbb{R}.
  3. Desenhe uma seta ao longo da reta apontando no sentido em que x aumenta (para a direita) e y também aumenta (para cima) — ou seja, uma seta apontando na diagonal nordeste, indicando o sentido do vetor \bigl(1,1\bigr).
  4. Opcional: marque alguns valores de t próximos aos pontos para indicar a posição quando t tem esses valores (por exemplo, t=0 em (0,-2), t=2 em (2,0)).

Passo 8

Resumo conceitual e dica para prova: sempre que uma parametrização tiver uma coordenada igual ao próprio parâmetro (aqui x=t), a eliminação do parâmetro é imediata. Se as duas coordenadas forem funções lineares de t com o mesmo coeficiente em t (aqui ambos têm coeficiente 1), o resultado será uma reta. O vetor velocidade \vec{r}'(t) indica o sentido de percurso; se for constante, o movimento é uniforme ao longo da curva.

Resposta

y = x - 2.
A reta é percorrida no sentido do vetor \bigl(1,1\bigr) (para nordeste) quando t aumenta.

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