Determine as equações cartesianas das eurvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
para . - Pede-se a(s) equação(ões) cartesiana(s) da curva (ou seja, eliminar o parâmetro
) e um esboço indicando a direção em que a curva é traçada quando cresce.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes são
e . - O parâmetro
varia de até , ou seja faz uma volta completa.
Passo 2
Como eliminar o parâmetro
: ideia e fórmula que vamos usar.
- A técnica padrão é expressar
e em função de e e usar a identidade trigonométrica
- Das componentes dadas temos
Essas expressões valem porque
e
; isolando
e
obtemos as frações acima.
Passo 3
Aplicando a identidade trigonométrica e obtendo a equação cartesiana.
- Substituindo
e na identidade dá
- Esta é a equação cartesiana da curva: uma elipse centrada na origem.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação (como esboçar).
- A equação
é a equação de uma elipse com: - centro em
, - semi-eixo horizontal
(ou seja interceptos em ), - semi-eixo vertical
(ou seja interceptos em ).
- centro em
- Para esboçar: desenhe o retângulo com vértices
e trace uma curva suave tangente aos lados do retângulo — ficará uma elipse mais alta que larga.
Passo 5
Direção do traçado quando
aumenta (como determinar).
- Calcula-se a velocidade (derivada)
para saber para onde a ponta de se desloca:
- Avaliando em pontos-chave:
- Em
: e — vetor vertical para cima. Ou seja, partindo de a curva sobe. - Em
: e — vetor para a esquerda no ponto superior.
- Em
- Esses sinais mostram que, à medida que
aumenta a partir de , a curva vai de para e depois para etc. Portanto o percurso é no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).
Passo 6
Pontos importantes para marcar no esboço (ajuda visual).
-
. -
. -
. -
. -
(volta ao ponto inicial).
Marque esses pontos no desenho, ligue-os suavemente formando a elipse e desenhe uma seta passando por eles no sentido anti-horário.
Resposta
Traçado no sentido anti-horário quando