Determine as equações cartesianas das eurvas dadas pelas seguintes parametrizações. Esboce as curvas e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
\vec{r}_{4}(t)=(2 \cos t, 3 \sin t), \quad t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado \vec{r}_{4}(t)=\bigl(2\cos t,\,3\sin t\bigr) para t\in[0,2\pi].
  • Pede-se a(s) equação(ões) cartesiana(s) da curva (ou seja, eliminar o parâmetro t) e um esboço indicando a direção em que a curva é traçada quando t cresce.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes são x(t)=2\cos t e y(t)=3\sin t.
  • O parâmetro t varia de 0 até 2\pi, ou seja faz uma volta completa.

Passo 2

Como eliminar o parâmetro t: ideia e fórmula que vamos usar.
  • A técnica padrão é expressar \cos t e \sin t em função de x e y e usar a identidade trigonométrica
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
  • Das componentes dadas temos
\cos t=\frac{x}{2},\qquad \sin t=\frac{y}{3}.
Essas expressões valem porque x(t)=2\cos t e y(t)=3\sin t; isolando \cos t e \sin t obtemos as frações acima.

Passo 3

Aplicando a identidade trigonométrica e obtendo a equação cartesiana.
  • Substituindo \cos t=\dfrac{x}{2} e \sin t=\dfrac{y}{3} na identidade \cos^{2}t+\sin^{2}t=1
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=1.
  • Esta é a equação cartesiana da curva: uma elipse centrada na origem.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação (como esboçar).
  • A equação \left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{3}\right)^{2}=1 é a equação de uma elipse com:
    • centro em (0,0),
    • semi-eixo horizontal a=2 (ou seja interceptos em x=\pm 2),
    • semi-eixo vertical b=3 (ou seja interceptos em y=\pm 3).
  • Para esboçar: desenhe o retângulo com vértices (\pm 2,\pm 3) e trace uma curva suave tangente aos lados do retângulo — ficará uma elipse mais alta que larga.

Passo 5

Direção do traçado quando t aumenta (como determinar).
  • Calcula-se a velocidade (derivada) \vec{r}\,'(t) para saber para onde a ponta de \vec{r}(t) se desloca:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-2\sin t,\,3\cos t\bigr).
  • Avaliando em pontos-chave:
    • Em t=0: \vec{r}(0)=(2,0) e \vec{r}\,'(0)=(0,3) — vetor vertical para cima. Ou seja, partindo de (2,0) a curva sobe.
    • Em t=\tfrac{\pi}{2}: \vec{r}(\tfrac{\pi}{2})=(0,3) e \vec{r}\,'(\tfrac{\pi}{2})=(-2,0) — vetor para a esquerda no ponto superior.
  • Esses sinais mostram que, à medida que t aumenta a partir de 0, a curva vai de (2,0) para (0,3) e depois para (-2,0) etc. Portanto o percurso é no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).

Passo 6

Pontos importantes para marcar no esboço (ajuda visual).
  • \vec{r}(0)=\bigl(2,0\bigr).
  • \vec{r}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\bigl(0,3\bigr).
  • \vec{r}(\pi)=\bigl(-2,0\bigr).
  • \vec{r}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\bigl(0,-3\bigr).
  • \vec{r}(2\pi)=\bigl(2,0\bigr) (volta ao ponto inicial).
    Marque esses pontos no desenho, ligue-os suavemente formando a elipse e desenhe uma seta passando por eles no sentido anti-horário.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=1
Traçado no sentido anti-horário quando t aumenta de 0 até 2\pi.

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