Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ) pelas equações abaixo:
z^{2}=r \cos (2 \theta)

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos a superfície em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) definida por
z^{2} = r\,\cos(2\theta).
O conteúdo principal é entender como essa equação impõe uma relação entre r, \theta e z e descobrir em que regiões do plano (r,\theta) ela tem pontos reais. Para isso vamos usar:
  • A expressão de \cos(2\theta) e suas regiões de sinal.
  • A interpretação de curvas de nível em seções \theta=\text{const}.

Passo 2

Primeiro, note que o lado direito r\cos(2\theta) deve ser não–negativo para que z^{2} seja real. Logo
r\cos(2\theta)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(2\theta)\ge0,
pois r\ge0. As soluções de \cos(2\theta)\ge0 são
-\,\tfrac\pi4 \le \theta \le \tfrac\pi4 \quad\text{e}\quad \tfrac{3\pi}4 \le \theta \le \tfrac{5\pi}4.
Isso mostra que a superfície só existe nesses dois cones angulares de abertura \pi/2 cada.

Passo 3

Dentro de uma dessas faixas angulares, \cos(2\theta) é uma constante positiva (variando de 1 até 0). Para cada plano \theta=\theta_{0} fixo, a equação vira
z^{2} = \bigl(\cos(2\theta_{0})\bigr)\,r,
ou seja
r = \frac{z^{2}}{\cos(2\theta_{0})}\,.
Em coordenadas polares (r,z), isso é a parábola r\propto z^{2}, com concavidade para r\ge0. Para cada \theta_{0} em que \cos(2\theta_{0})>0, teremos duas curvas z=\pm\sqrt{\cos(2\theta_{0})\,r}.

Passo 4

Nos limites angulares \theta = \pm\tfrac\pi4 e \theta = \tfrac{3\pi}4,\tfrac{5\pi}4, temos \cos(2\theta)=0, logo z=0. Isso significa que a superfície toca o plano z=0 exatamente nessas duas “paredes” planas que passam pela reta r\ge0 em \theta=\pm\tfrac\pi4 e pela reta oposta em \theta=\tfrac{3\pi}4,\tfrac{5\pi}4.

Passo 5

Juntando tudo, a superfície é formada por “duas asas” parabólicas (duas folhas z=\pm\sqrt{r\cos2\theta}) que se estendem ao longo de \theta entre -\tfrac\pi4 e \tfrac\pi4 (uma asa apontando para o eixo x>0) e entre \tfrac{3\pi}4 e \tfrac{5\pi}4 (a outra asa apontando para x<0). Em cada fatia \theta= constante dentro desses cones, o perfil é a parábola r=z^{2}/\cos(2\theta).

Resposta

A superfície consiste em duas “folhas parabólicas” (para z>0 e z<0) que existem apenas nos setores angulares
-\tfrac\pi4\le\theta\le\tfrac\pi4 e \tfrac{3\pi}4\le\theta\le\tfrac{5\pi}4. Em cada plano \theta=\text{const} dentro desses setores, a curva é a parábola
r = \frac{z^{2}}{\cos(2\theta)}.
No esboço, essas folhas parecem duas “asas” de paraboloide abertas em torno do eixo x, ligadas ao plano z=0 nas retas \theta=\pm\tfrac\pi4 e \theta=\tfrac{3\pi}4,\tfrac{5\pi}4.

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