Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas (
) pelas equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para desenharmos a superfície em coordenadas cilíndricas
definida por
O conteúdo principal é entender como essa equação impõe uma relação entre
,
e
e descobrir em que regiões do plano
ela tem pontos reais. Para isso vamos usar:
- A expressão de
e suas regiões de sinal. - A interpretação de curvas de nível em seções
.
Passo 2
Primeiro, note que o lado direito
deve ser não–negativo para que
seja real. Logo
pois
. As soluções de
são
Isso mostra que a superfície só existe nesses dois cones angulares de abertura
cada.
Passo 3
Dentro de uma dessas faixas angulares,
é uma constante positiva (variando de 1 até 0). Para cada plano
fixo, a equação vira
ou seja
Em coordenadas polares
, isso é a parábola
, com concavidade para
. Para cada
em que
, teremos duas curvas
.
Passo 4
Nos limites angulares
e
, temos
, logo
. Isso significa que a superfície toca o plano
exatamente nessas duas “paredes” planas que passam pela reta
em
e pela reta oposta em
.
Passo 5
Juntando tudo, a superfície é formada por “duas asas” parabólicas (duas folhas
) que se estendem ao longo de
entre
e
(uma asa apontando para o eixo
) e entre
e
(a outra asa apontando para
). Em cada fatia
constante dentro desses cones, o perfil é a parábola
.
Resposta
A superfície consiste em duas “folhas parabólicas” (para
e
) que existem apenas nos setores angulares
e
. Em cada plano
dentro desses setores, a curva é a parábola
No esboço, essas folhas parecem duas “asas” de paraboloide abertas em torno do eixo
, ligadas ao plano
nas retas
e
.