Determine se as equações diferenciais dadas são exatas. Caso sejam exatas, resolva.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolvê-la. O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para isso, vamos precisar verificar se a condição de exatidão é satisfeita e, se sim, encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ que estão multiplicando $ dx $ e $ dy $ respectivamente na equação diferencial:
Passo 3
A condição para que uma equação diferencial seja exata é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais calculadas:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação diferencial é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função arbitrária de $ y $, que aparece porque a constante de integração pode depender de $ y $.
Passo 6
Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $ para encontrar $ g(y) $:
Comparando os dois lados:
Podemos ver que:
Integrando $ g’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 7
Substituindo $ g(y) $ na função potencial $ F(x, y) $:
A solução geral da equação diferencial exata é obtida igualando $ F(x, y) $ a uma constante:
Resposta
A equação diferencial é exata e sua solução geral é: