Determine se as equações diferenciais dadas são exatas. Caso sejam exatas, resolva.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação diferencial dada é exata e, se for, resolvê-la. O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para isso, vamos precisar verificar se a condição de exatidão é satisfeita e, se sim, encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ que estão multiplicando $ dx $ e $ dy $ respectivamente na equação diferencial:
M(x, y)
N(x, y)

Passo 3

A condição para que uma equação diferencial seja exata é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
M
y

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais calculadas:
partial Mpartial y = 4x y
partial Npartial x = 4x y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação diferencial é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
partial Fpartial x = M(x, y)
Vamos integrar $ M(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ F(x, y) $:
partial Fpartial y = N(x, y)
Aqui, $ g(y) $ é uma função arbitrária de $ y $, que aparece porque a constante de integração pode depender de $ y $.

Passo 6

Agora, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $ para encontrar $ g(y) $:
F(x, y)
Comparando os dois lados:
y
Podemos ver que:
N(x, y)
Integrando $ g’(y) $ em relação a $ y $:
g(y)
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 7

Substituindo $ g(y) $ na função potencial $ F(x, y) $:
g(y)
A solução geral da equação diferencial exata é obtida igualando $ F(x, y) $ a uma constante:
F(x, y)

Resposta

A equação diferencial é exata e sua solução geral é:
x^2 y^2 - 3x + 4y = C

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