Um triângulo central é dito central se um dos seus vértices é o centro de uma circunferência e dois de seus lados tem comprimento igual ao raio da circunferência. Determine o triângulo central em uma circunferência de raio 1 de área máxima.
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Passo 1
Nesse problema a gente quer achar, numa circunferência de raio 1, um triângulo cujo vértice O é o centro e os outros dois vértices A e B estão na circunferência, de forma que a área seja máxima. O conteúdo envolve usar a fórmula da área de um triângulo em termos dos lados e do seno do ângulo formado.
Passo 2
Chamando θ o ângulo central ∠AOB, temos OA=OB=1. A área do triângulo OAB é dada por
Passo 3
Para maximizar a área a gente precisa maximizar
. No intervalo
, o seno atinge seu valor máximo 1 quando
.
Portanto o triângulo de área máxima ocorre quando o ângulo central vale 90°, isto é, um triângulo retângulo isósceles com catetos OA=OB=1.
Portanto o triângulo de área máxima ocorre quando o ângulo central vale 90°, isto é, um triângulo retângulo isósceles com catetos OA=OB=1.
Resposta
O triângulo central de área máxima é o isósceles retângulo com ângulo central de 90° e sua área vale
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