Um triângulo central é dito central se um dos seus vértices é o centro de uma circunferência e dois de seus lados tem comprimento igual ao raio da circunferência. Determine o triângulo central em uma circunferência de raio 1 de área máxima.
( R: 1 / 2 )

Passo 1

Nesse problema a gente quer achar, numa circunferência de raio 1, um triângulo cujo vértice O é o centro e os outros dois vértices A e B estão na circunferência, de forma que a área seja máxima. O conteúdo envolve usar a fórmula da área de um triângulo em termos dos lados e do seno do ângulo formado.

Passo 2

Chamando θ o ângulo central ∠AOB, temos OA=OB=1. A área do triângulo OAB é dada por
tfrac12,OAcdot OBcdotsintheta =tfrac12sintheta

Passo 3

Para maximizar a área a gente precisa maximizar sintheta. No intervalo 0, o seno atinge seu valor máximo 1 quando theta=tfracpi2.
Portanto o triângulo de área máxima ocorre quando o ângulo central vale 90°, isto é, um triângulo retângulo isósceles com catetos OA=OB=1.

Resposta

O triângulo central de área máxima é o isósceles retângulo com ângulo central de 90° e sua área vale tfrac12.

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