Determine se as equações diferenciais dadas são exatas. Caso sejam exatas, resolva.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(1+ln x+tfracyx),dx=(1-ln x),dy
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita. O conteúdo é equações diferenciais exatas, onde precisamos identificar funções M(x,y) e N(x,y), testar a exatidão e depois achar a função potencial F(x,y).

Passo 2

Reescrevemos no formato padrão M,dx+N,dy=0 trazendo o termo com dy para o lado esquerdo:
(1+ln x+tfracyx),dx-(1-ln x),dy=0
Assim,
M(x,y)=1+ln x+tfracyx, N(x,y)=-(1-ln x)=ln x-1

Passo 3

Agora testamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=1x,
partial Npartial x=ddx(ln x-1)=1x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para obter a função potencial F(x,y) tal que partial F/partial x=M, integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(1+ln x+tfracyx),dx =x+ xln x -x + yln x + h(y) = xln x + yln x + h(y)

Passo 5

Em seguida impomos partial F/partial y=N. Temos
partial Fpartial y=ln x + h'(y)
e deve ser igual a ln x-1. Logo
h'(y)=-1Rightarrow h(y)=-y
Substituindo, a função potencial completa é
F(x,y)=xln x + yln x -y

Resposta

A solução implícita é
xln x + yln x - y = C

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