Determine se as equações diferenciais dadas são exatas. Caso sejam exatas, resolva.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita. O conteúdo é equações diferenciais exatas, onde precisamos identificar funções
e
, testar a exatidão e depois achar a função potencial
.
Passo 2
Reescrevemos no formato padrão
trazendo o termo com
para o lado esquerdo:
Assim,
Passo 3
Agora testamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para obter a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
Passo 5
Em seguida impomos
. Temos
e deve ser igual a
. Logo
Substituindo, a função potencial completa é
Resposta
A solução implícita é