Represente os seguintes números complexos em sua forina polar:
  • (i1+i)^3
  • (raiz2-raiz2 i1-raiz3 i)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois números complexos e colocá-los na forma polar. A matéria aqui é Números Complexos, especificamente a conversão de forma algébrica para a forma polar. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) de um número complexo.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro número: $ \left( \dfrac{i}{1+i} \right)^3 $. Primeiro, vamos simplificar a fração dentro dos parênteses.

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador por $ 1 - i $ para eliminar o número complexo no denominador:
1 - i

Passo 4

Agora, temos $ \left( \dfrac{1 + i}{2} \right)^3 $. Vamos encontrar a forma polar de $ \dfrac{1 + i}{2} $.

Passo 5

Para um número complexo $ a + b i $, o módulo é $ \sqrt{a^2 + b^2} $ e o argumento é $ \tan^{-1} \left( \dfrac{b}{a} \right) $. Então, para $ \dfrac{1 + i}{2} $:
  • Módulo: $ \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
  • Argumento: $ \tan^{-1}(1) = \dfrac{\pi}{4} $ radianos

Passo 6

Agora, elevamos esse número à potência 3 na forma polar. Quando elevamos $ r(\cos \theta + i \sin \theta) $ a uma potência $ n $, o módulo fica $ r^n $ e o argumento fica $ n\theta $. Então:
  • Módulo: $ \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 = \dfrac{2^{1.5}}{8} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} $
  • Argumento: $ 3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} $

Passo 7

Portanto, a forma polar de $ \left( \dfrac{i}{1+i} \right)^3 $ é:
( dfraci1+i )^3

Passo 8

Agora, vamos para o segundo número: $ \left( \dfrac{ \sqrt{2} - \sqrt{2}i }{1 - \sqrt{3}i} \right)^2 $. Primeiro, vamos simplificar a fração dentro dos parênteses.

Passo 9

Multiplicando o numerador e o denominador por $ 1 + \sqrt{3}i $ para eliminar o número complexo no denominador:
1 + raiz3i
Simplificando:
dfrac raiz2 - raiz2i 1 - raiz3i times dfrac1 + raiz3i1 + raiz3i = dfrac (raiz2 - raiz2i)(1 + raiz3i) 1 + (raiz3)^2 = dfrac raiz2 + raiz6i - raiz2i - raiz6i^2 1 + 3 = dfrac raiz2 + (raiz6 - raiz2)i + raiz6 4 = dfrac raiz2 + raiz6 + (raiz6 - raiz2)i 4

Passo 10

Agora, vamos encontrar a forma polar desse número. Primeiro, encontramos o módulo:
raiz ( dfrac raiz2 + raiz6 4 )^2 + ( dfrac raiz6 - raiz2 4 )^2 = dfrac14 raiz (raiz2 + raiz6)^2 + (raiz6 - raiz2)^2
Calculando:
(raiz2 + raiz6)^2 = 2 + 2raiz12 + 6 = 8 + 4raiz3
(raiz6 - raiz2)^2 = 6 - 2raiz12 + 2 = 8 - 4raiz3
Somando:
8 + 4raiz3 + 8 - 4raiz3 = 16
Então o módulo é:
dfrac14 times raiz16 = dfrac14 times 4 = 1

Passo 11

Para encontrar o argumento, usamos:
theta = tan^-1 ( dfrac dfrac raiz6 - raiz2 4 dfrac raiz2 + raiz6 4 ) = tan^-1 ( dfrac raiz6 - raiz2 raiz2 + raiz6 )
Simplificando a fração dentro do arco-tangente:
dfrac raiz6 - raiz2 raiz2 + raiz6 = dfrac (raiz6 - raiz2)^2 (raiz2 + raiz6)(raiz6 - raiz2) = dfrac6 - 2raiz12 + 26 - 2 = dfrac8 - 4raiz34 = 2 - raiz3
Então:
theta = tan^-1(2 - raiz3) = dfracpi12

Passo 12

Agora, elevamos esse número à potência 2 na forma polar. Como o módulo é 1, permanece 1, e o argumento fica multiplicado por 2:
1^2 ( cos ( 2 times dfracpi12 ) + i sin ( 2 times dfracpi12 ) ) = cos dfracpi6 + i sin dfracpi6

Resposta

A forma polar dos números complexos são:
  1. $ \left( \dfrac{i}{1+i} \right)^3 = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left( \cos \dfrac{3\pi}{4} + i \sin \dfrac{3\pi}{4} \right) $
  2. $ \left( \dfrac{ \sqrt{2} - \sqrt{2}i }{1 - \sqrt{3}i} \right)^2 = \cos \dfrac{\pi}{6} + i \sin \dfrac{\pi}{6} $

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