Represente os seguintes números complexos em sua forina polar:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver dois números complexos e colocá-los na forma polar. A matéria aqui é Números Complexos, especificamente a conversão de forma algébrica para a forma polar. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o módulo (ou magnitude) e o argumento (ou ângulo) de um número complexo.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro número: $ \left( \dfrac{i}{1+i} \right)^3 $. Primeiro, vamos simplificar a fração dentro dos parênteses.
Passo 3
Multiplicando o numerador e o denominador por $ 1 - i $ para eliminar o número complexo no denominador:
Passo 4
Agora, temos $ \left( \dfrac{1 + i}{2} \right)^3 $. Vamos encontrar a forma polar de $ \dfrac{1 + i}{2} $.
Passo 5
Para um número complexo $ a + b i $, o módulo é $ \sqrt{a^2 + b^2} $ e o argumento é $ \tan^{-1} \left( \dfrac{b}{a} \right) $. Então, para $ \dfrac{1 + i}{2} $:
- Módulo: $ \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
- Argumento: $ \tan^{-1}(1) = \dfrac{\pi}{4} $ radianos
Passo 6
Agora, elevamos esse número à potência 3 na forma polar. Quando elevamos $ r(\cos \theta + i \sin \theta) $ a uma potência $ n $, o módulo fica $ r^n $ e o argumento fica $ n\theta $. Então:
- Módulo: $ \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^3 = \dfrac{2^{1.5}}{8} = \dfrac{\sqrt{2}}{4} $
- Argumento: $ 3 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} $
Passo 7
Portanto, a forma polar de $ \left( \dfrac{i}{1+i} \right)^3 $ é:
Passo 8
Agora, vamos para o segundo número: $ \left( \dfrac{ \sqrt{2} - \sqrt{2}i }{1 - \sqrt{3}i} \right)^2 $. Primeiro, vamos simplificar a fração dentro dos parênteses.
Passo 9
Multiplicando o numerador e o denominador por $ 1 + \sqrt{3}i $ para eliminar o número complexo no denominador:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a forma polar desse número. Primeiro, encontramos o módulo:
Calculando:
Somando:
Então o módulo é:
Passo 11
Para encontrar o argumento, usamos:
Simplificando a fração dentro do arco-tangente:
Então:
Passo 12
Agora, elevamos esse número à potência 2 na forma polar. Como o módulo é 1, permanece 1, e o argumento fica multiplicado por 2:
Resposta
A forma polar dos números complexos são:
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$ \left( \dfrac{i}{1+i} \right)^3 = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \left( \cos \dfrac{3\pi}{4} + i \sin \dfrac{3\pi}{4} \right) $
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$ \left( \dfrac{ \sqrt{2} - \sqrt{2}i }{1 - \sqrt{3}i} \right)^2 = \cos \dfrac{\pi}{6} + i \sin \dfrac{\pi}{6} $