Ache a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Nesse exercício, a gente quer achar a solução geral da EDO
. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo a equação no formato padrão
, identificamos
e
. Para equações desse tipo, definimos o fator integrante
.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
Esse passo usa a integral de
, cujo resultado é
.
Passo 4
Multiplicar ambos os lados da EDO original por
. Assim:
O lado esquerdo fica exato, pois é a derivada de
.
Passo 5
Reconhecer que
Portanto precisamos integrar esse lado direito em
.
Passo 6
Calcular a integral do lado direito. Primeiro simplificamos:
após expandir e usar identidades trigonométricas. Então
Passo 7
Agora voltamos ao produto
. Temos
Isolando
, dividimos ambos os lados por
.