Ache a solução geral da equação diferencial dada.
d rd theta+r sec theta=cos theta(sec theta+tan theta)

Passo 1

Nesse exercício, a gente quer achar a solução geral da EDO d rd theta + r sec theta = cos theta (sec theta + tan theta). O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação no formato padrão r' + P(theta),r = Q(theta), identificamos P(theta)=sec theta e Q(theta)=cos theta(sec theta + tan theta). Para equações desse tipo, definimos o fator integrante mu(theta) = expl(integral P(theta),dthetar).

Passo 3

Calcular o fator integrante:
mu(theta) = expl(integral sec theta,dthetar) = expl(ln|sec theta + tan theta|r) = sec theta + tan theta
Esse passo usa a integral de sec theta, cujo resultado é ln|sec theta + tan theta|.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados da EDO original por mu(theta). Assim:
(sec theta + tan theta)d rd theta + (sec theta + tan theta),r,sec theta = (sec theta + tan theta)cos theta(sec theta + tan theta)
O lado esquerdo fica exato, pois é a derivada de (sec theta + tan theta)r.

Passo 5

Reconhecer que
ddthetal[(sec theta + tan theta),rr] = (sec theta + tan theta)cos theta(sec theta + tan theta)
Portanto precisamos integrar esse lado direito em theta.

Passo 6

Calcular a integral do lado direito. Primeiro simplificamos:
(sec theta + tan theta)cos theta(sec theta + tan theta) = 2sec theta + 2tan theta - cos theta,
após expandir e usar identidades trigonométricas. Então
integral(2sec theta + 2tan theta - cos theta),dtheta = 2ln|sec theta + tan theta| -2ln|cos theta| - sin theta + C

Passo 7

Agora voltamos ao produto (sec theta + tan theta)r. Temos
(sec theta + tan theta),r = 2ln|sec theta + tan theta| -2ln|cos theta| - sin theta + C
Isolando r, dividimos ambos os lados por sec theta + tan theta.

Resposta

r(theta) = 2ln|sec theta + tan theta| -2ln|cos theta| - sin theta + Csec theta + tan theta

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