Determine as equações diferencias de segunda ordem a seguir:
y^{\prime \prime}(t)-y^{\prime}(t)-2 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear homogênea com coeficientes constantes
y''(t) - y'(t) - 2\,y(t) = 0.
O conteúdo aqui é o método da equação característica, que transforma a EDO num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{r t}. Calculamos as derivadas:
y'(t)=r e^{r t}, \quad y''(t)=r^2 e^{r t}.
Substituindo na equação diferencial, obtemos
r^2 e^{r t} - r e^{r t} - 2 e^{r t} = 0.
Como e^{r t}\neq0, cancelamos e sobra a equação característica
r^2 - r - 2 = 0.

Passo 3

Resolvemos r^2 - r - 2 = 0 usando fórmula de Bhaskara:
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
Isso dá as raízes reais e distintas
r_1 = 2, \quad r_2 = -1.

Passo 4

Como as raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}.

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