Resolva as equações diferenciais homogêneas a seguir:
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
(x^{2}+y^{2})\,dx \;-\; x^{2}\,dy \;=\; 0.
Esse tipo de equação é homogênea porque cada termo é de grau 2 em (x,y). Para resolver vamos usar a substituição clássica de variáveis homogêneas
\displaystyle y = u\,x.

Passo 2

Primeiro transformamos em forma de derivada:
(x^{2}+y^{2})\,dx - x^{2}\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = 1 + \biggl(\frac{y}{x}\biggr)^{2}.

Passo 3

Com y = u\,x temos
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx}=1+u^{2} obtemos
u + x\frac{du}{dx} = 1 + u^{2} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{du}{dx} = u^{2} - u + 1.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{du}{u^{2} - u + 1} = \frac{dx}{x}.
Para integrar, completamos o quadrado no denominador:
u^{2} - u + 1 = \bigl(u - \tfrac12\bigr)^{2} + \tfrac34.
Então
\int \frac{du}{(u - \tfrac12)^{2} + (\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = \int \frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\!\Bigl(\frac{2u - 1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando a u = \tfrac{y}{x}, a solução implícita fica
\frac{2}{\sqrt{3}}\, \arctan\!\Bigl(\frac{2\,\frac{y}{x} - 1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\frac{2}{\sqrt{3}}\, \arctan\!\Bigl(\frac{2y/x - 1}{\sqrt{3}}\Bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.

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