Resolva as equações diferenciais homogêneas a seguir:
(2 x-y) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x - y)\,dx + (x + 2y)\,dy = 0
em que as funções M(x,y)=2x-y e N(x,y)=x+2y são homogêneas de grau 1. Para resolver, vamos usar a substituição típica de equações homogêneas:
y = v x,\quad \text{onde}\;v = \frac{y}{x}.

Passo 2

Com y=v x, temos
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em (2x-y)\,dx + (x+2y)\,dy=0 obtemos
(2x - v x)\,dx + \bigl(x + 2(vx)\bigr)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr) = 0.

Passo 3

Fatorando x e agrupando termos em dx e dv,
x\bigl[(2 - v)\,dx + (1+2v)\,(v\,dx + x\,dv)\bigr]=0 \;\Longrightarrow\; (2 - v + v(1+2v))\,dx + (1+2v)\,x\,dv = 0.
Como 2 - v + v + 2v^2 = 2 + 2v^2, segue
(2 + 2v^2)\,dx + (1+2v)\,x\,dv = 0.

Passo 4

Dividindo por x e levando o termo em dx para um lado, ficamos com forma separável:
\frac{dx}{x} = -\,\frac{1+2v}{2(1+v^2)}\,dv.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1, \quad \int \frac{1+2v}{1+v^2}\,dv = \int \frac{1}{1+v^2}\,dv + \int \frac{2v}{1+v^2}\,dv = \arctan v + \ln(1+v^2).
Logo,
\ln|x| = -\frac12\bigl[\arctan v + \ln(1+v^2)\bigr] + C_2.

Passo 6

Voltando a v = y/x, note que
\ln|x| + \tfrac12\ln(1+v^2) = \tfrac12\ln\bigl(x^2(1+v^2)\bigr) = \tfrac12\ln(x^2+y^2).
E temos também \arctan v = \arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr). Assim a solução implícita fica
\tfrac12\ln(x^2+y^2) + \tfrac12\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = C,
que, multiplicando por 2, leva à forma mais simples.

Resposta

\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) + \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = C,
onde C é constante de integração.

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