Sejam \sigma: K \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma superficie parametrizada dada por \sigma(u, v)=\left(u, v, 4-u^{2}-v^{2}\right), onde K=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid u^{2}+v^{2} \leq 1\right\} e \vec{F}(x, y, z)=(1, x+y+z, 0) um campo vetorial. Calcule \iint_{\sigma} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{n}_{2} d S.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{\sigma}\operatorname{rot}(\vec F)\cdot\vec n_{2}\,dS
para a superfície parametrizada por
\sigma(u,v)=(u,v,4-u^2-v^2),\quad (u,v)\in K=\{u^2+v^2\le1\}
e o campo \vec F(x,y,z)=(1,\,x+y+z,\,0).
O conteúdo aplicado será o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{\sigma}\operatorname{rot}(\vec F)\cdot\vec n\,dS \;=\;\oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r
com orientação compatível (normal apontando para cima e contorno no sentido anti-horário visto de cima).

Passo 2

Calculemos \operatorname{rot}(\vec F)=\nabla\times\vec F. Para \vec F=(P,Q,R) com
P=1, Q=x+y+z, R=0, temos
\operatorname{rot}(\vec F) =\bigl(R_y - Q_z,\;P_z - R_x,\;Q_x - P_y\bigr) =(0-1,\;0-0,\;1-0)=(-1,0,1).

Passo 3

A fronteira \partial\sigma corresponde ao círculo u^2+v^2=1 na altura z=3. Parametrizamos:
\vec r(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;3\bigr),\quad t\in[0,2\pi],
no sentido anti-horário visto de cima (compatível com o normal para cima).

Passo 4

Calculamos o integral de linha
\oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot\vec r\,'(t)\,dt.
Aqui
\vec F\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(1,\;\cos t+\sin t+3,\;0\bigr), \quad \vec r\,'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr).
Logo o produto escalar vale
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =-\sin t+(\cos t+\sin t+3)\cos t =\cos^2t+\sin t\cos t+3\cos t-\sin t.
Integrando de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}\cos^2t\,dt =\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos2t}{2}\,dt =\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt=0, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0.
Portanto
\oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r =\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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