Determine as equações na forma paramétrica e simétrica da reta que:
É paralela ao plano y z e passa pelo ponto T(4,-1,3)

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por T(4,-1,3) e é paralela ao plano yz.
O plano yz tem equação x=0, cujo vetor normal é \mathbf{n}=(1,0,0).
Para que uma reta seja paralela a esse plano, seu vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) deve satisfazer
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0 \quad\Longrightarrow\quad v_x=0.

Passo 2

Como v_x=0, escolhemos um vetor diretor genérico em yz:
\mathbf{v}=(0,\alpha,\beta),
com \alpha e \beta não simultaneamente nulos.

Passo 3

A forma paramétrica da reta, usando o parâmetro t, é
\begin{cases} x=4+0\cdot t=4,\\\ y=-1+\alpha\,t,\\\ z=3+\beta\,t. \end{cases}

Passo 4

Para escrever a forma simétrica, isolamos t em cada uma das últimas duas equações (supondo \alpha\neq0 e \beta\neq0):
t=\frac{y+1}{\alpha} \quad\text{e}\quad t=\frac{z-3}{\beta},
enquanto de x=4 já vem a condição fixa x=4.
Logo, a forma simétrica é
x=4, \quad \frac{y+1}{\alpha}=\frac{z-3}{\beta}.

Resposta

Equação paramétrica genérica:
\begin{cases} x=4,\\\ y=-1+\alpha\,t,\\\ z=3+\beta\,t, \end{cases} \quad (\alpha,\beta)\neq(0,0).
Equação simétrica correspondente:
x=4, \quad \frac{y+1}{\alpha}=\frac{z-3}{\beta}.
Como exemplo particular, podemos escolher \alpha=1, \beta=1, obtendo
\begin{cases} x=4,\\\ y=-1+t,\\\ z=3+t, \end{cases} \quad x=4,\;\;y+1=z-3.

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