Determine as equações na forma paramétrica e simétrica da reta que:
Passa pelos pontos R(3,2,5) e S(3,2,-2)

Passo 1

O enunciado pede as equações na forma paramétrica e na forma simétrica da reta que passa pelos pontos R(3,2,5) e S(3,2,-2). O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e vamos precisar do vetor diretor da reta, obtido pela diferença de posição entre os dois pontos, para então escrever as equações.

Passo 2

Calcular o vetor diretor \vec v da reta usando \overrightarrow{RS}=S-R:\r
\vec v \;=\;\bigl(3-3,\;2-2,\;-2-5\bigr)\;=\;(0,0,-7).

Passo 3

Escrever a equação paramétrica da reta em função de um parâmetro t, partindo de um ponto conhecido (por exemplo R) e somando t vezes o vetor diretor:\r
(x,y,z)\;=\;(3,2,5)+t\,(0,0,-7).\r
Em coordenadas isso dá\r
\begin{cases} x = 3 + 0\,t = 3,\\\ y = 2 + 0\,t = 2,\\\ z = 5 - 7\,t. \end{cases}

Passo 4

Para a forma simétrica usamos a regra\r
\frac{x - x_0}{v_x} \;=\;\frac{y - y_0}{v_y} \;=\;\frac{z - z_0}{v_z}.\r
Aqui v_x=0 e v_y=0, o que implica que x e y são constantes. Logo:\r
x = 3, \quad y = 2, \quad \frac{z - 5}{-7} = t.\r
Em notação compacta podemos também escrever\r
\frac{x - 3}{0} \;=\;\frac{y - 2}{0} \;=\;\frac{z - 5}{-7},\r
interpretando as x=3 e y=2 mais a fração válida para z.

Resposta

Equação paramétrica:\r
\begin{cases} x = 3,\\\ y = 2,\\\ z = 5 - 7\,t. \end{cases}\r
Equação simétrica:\r
x = 3, \quad y = 2, \quad \frac{z - 5}{-7} = t.

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