Determine as equações na forma paramétrica e simétrica da reta que:
Passa pelo ponto A(4,-6,2) e é ortogonal ao plano x z.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por A(4,-6,2) e é ortogonal ao plano xz. O plano xz é o plano definido por
y = 0,
cujo vetor normal é (0,1,0). Para achar a reta ortogonal a esse plano, precisamos de uma reta com direção paralela ao vetor normal do plano e que passe por A.

Passo 2

O vetor normal ao plano xz é
\mathbf{n} = (0,1,0).
Como a reta deve ser ortogonal ao plano, sua direção \mathbf{d} é paralela a \mathbf{n}. Podemos então tomar
\mathbf{d} = (0,1,0).

Passo 3

Usando a forma vetorial-paramétrica de uma reta que passa por A(x_0,y_0,z_0) com direção \mathbf{d}=(d_x,d_y,d_z), temos
\mathbf{r}(t) = (x_0,y_0,z_0) + t\,(d_x,d_y,d_z).
Aqui (x_0,y_0,z_0)=(4,-6,2) e (d_x,d_y,d_z)=(0,1,0). Logo a forma paramétrica é
\begin{cases} x(t) = 4,\\\ y(t) = -6 + t,\\\ z(t) = 2. \end{cases}

Passo 4

Para escrever na forma simétrica, normalmente usamos
\frac{x - x_0}{d_x} \;=\;\frac{y - y_0}{d_y}\;=\;\frac{z - z_0}{d_z}.
Como d_x=0\) e \(d_z=0\), não dá para colocar \(\tfrac{x-4}{0}\) ou \(\tfrac{z-2}{0}\). Nesse caso a descrição da reta como interseção de dois planos é a forma “simétrica” mais limpa: \[\begin{cases} x = 4,\\\ z = 2, \end{cases}
com y\] variando livremente (equivalente a dizer \((y+6)/1=t).

Resposta

Forma paramétrica:
\begin{cases} x = 4,\\\ y = -6 + t,\\\ z = 2. \end{cases}
Forma simétrica (como interseção de planos):
\begin{cases} x = 4,\\\ z = 2. \end{cases}

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