Determine as equações lineares homogêneas que caracterizam U cap W e uma base para U cap W.
U=(x, y, z) in R^3, x=0 e W=[(0,2,0) ;(1,2,3) ;(7,12,21) ;(-1,-2,-3)];

Passo 1

O enunciado pede as equações lineares homogêneas que descrevem
;Ucap W; e uma base para esse espaço. Aqui
U=(x,y,z)inR^3mid x=0
é um plano, e
W=spanl(0,2,0),(1,2,3),(7,12,21),(-1,-2,-3)
é um subespaço gerado por quatro vetores em R^3.
Para resolver, vamos (1) encontrar uma base de W, (2) obter as equações que caracterizam W, (3) impor x=0 de U junto com as de W e (4) extrair base e equações de Ucap W.

Passo 2

Vamos descobrir uma base de W. Denotando
v1=(0,2,0), v2=(1,2,3), v3=(7,12,21), v4=(-1,-2,-3),
notamos que
v4=-1cdot v2 e v3=-1cdot v1+7cdot v2
Logo apenas v1 e v2 são independentes e
W=spanv1,v2

Passo 3

Para achar a equação que define W como solução de uma única equação linear, calculamos um vetor normal a v1 e v2 via produto vetorial:
n=v1times v2 =l|i&j&k0&2&01&2&3r| =(6,0,-2)
Assim W é o conjunto de (x,y,z) que satisfazem
6x+0y-2z=0,
ou simplificando,
3x-z=0

Passo 4

Agora
Da primeira vem . Portanto
Isso é uma reta, cuja base pode ser tomada como .

Resposta

Equações que caracterizam Ucap W:
x=0, z=0
Uma base de Ucap W é
(0,1,0)

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