Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços:
W=[(2,-2) ;(-1,1)] em R^2.

Passo 1

O enunciado pede a caracterização de
W = span(2,-2),,(-1,1)
em R^2 por um sistema de equações lineares homogêneas. Vamos usar a ideia de que, se um subespaço é uma reta no plano, ele pode ser descrito como o núcleo de um vetor normal.

Passo 2

Observamos que
(2,-2) = -2cdot(-1,1),
logo os dois vetores são colineares e W é uma reta de dimensão 1 em R^2.

Passo 3

Para descrever essa reta por equações lineares, basta achar um vetor normal n=(a,b) tal que
ncdot(2,-2)=0
Escolhendo n=(1,1), de fato
(1,1)cdot(2,-2)=2-2=0

Passo 4

A condição ncdot(x,y)=0 para n=(1,1) e v=(x,y) gera a equação
1cdot x + 1cdot y = 0,
ou seja
x + y = 0

Resposta

A equação linear homogênea que caracteriza W é
x + y = 0

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