Determine as equacoes paramétricas da curva C (isto é, a funcáo vetorial r(t) cujo traç é c ) nos seguintes casos:
C é a reta em R^3 descrita pela cap des planas x+y+z=0 e x-y-z=1

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede e quais ferramentas vamos usar: precisamos encontrar as equações paramétricas da reta C que é a interseção dos planos
x + y + z = 0
e
x - y - z = 1
Esse é um problema de geometria analítica em R^3. Vamos usar vetores normais, produto vetorial para achar a direção da reta e resolver um pequeno sistema para encontrar um ponto qualquer da reta.

Passo 2

O primeiro passo concreto é identificar os vetores normais de cada plano, pois eles são perpendicular à reta de interseção. Para
P1: x+y+z=0 temos o normal
n1 = (1,,1,,1),
e para
P2: x-y-z=1 temos
n2 = (1,,-1,,-1)

Passo 3

Para achar a direção da reta (vetor paralelo à interseção), fazemos o produto vetorial
v = n1 times n2
Calculando em detalhe:
i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 = (1cdot(-1)-1cdot(-1)),i - (1cdot(-1)-1cdot1),j + (1cdot(-1)-1cdot1),k = (0),i -(-2),j +(-2),k = (0,,2,,-2)
Podemos usar o vetor mais simples (0,1,-1) com a mesma direção.

Passo 4

Agora precisamos de um ponto qualquer na reta. Somando as duas equações dos planos:
(x+y+z) + (x-y-z) = 0 + 1 implies 2x = 1 implies x = tfrac12
Substituindo em x+y+z=0, temos
tfrac12 + y + z = 0 implies y + z = -tfrac12
Para achar um ponto específico, podemos escolher y=0, daí z=-tfrac12. Um ponto na reta é
P0 = l(tfrac12,,0,,-tfrac12r)

Passo 5

Finalmente, montamos a função vetorial da reta. Usando t como parâmetro:
vec r(t) = P0 + t,(0,1,-1) = l(tfrac12,,0,,-tfrac12r) + t,(0,1,-1)
Em forma de equações paramétricas:
x = tfrac12, y = t, z = -tfrac12 - t

Resposta

\vec r(t)=\left(\tfrac12,,0,,-\tfrac12\right)+t,(0,1,-1),\quad t\in\mathbb R
Equivalente às equações paramétricas:
x=\tfrac12,\quad y=t,\quad z=-\tfrac12-t

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