Determine as equacoes paramétricas da curva C (isto é, a funcáo vetorial r(t) cujo traç é c ) nos seguintes casos:
C é a hipérbole x^2-y^24=1;

Passo 1

A questão pede para parametrizar a hipérbole definida por x^2-y^24=1. O conteúdo que vamos usar é a teoria de parametrização de cônicas, em particular a hipérbole canônica, e precisaremos conhecer as funções hiperbólicas e sua propriedade cosh^2t-sinh^2t=1.

Passo 2

Vamos reescrever a equação no formato canônico de hipérbole: dividir ambos os lados de x^2-tfracy^24=1 pelos coeficientes de forma a obter x^21^2-y^22^2=1. Assim vemos claramente os parâmetros a=1 e b=2.

Passo 3

Na teoria das cônicas, uma parametrização padrão da hipérbole x^2a^2-y^2b^2=1 é dada por:
x=acosh t, y=bsinh t,
pois de fato as funções hiperbólicas satisfazem cosh^2t-sinh^2t=1, o que garante que o ponto (x,y) percorre a hipérbole.

Passo 4

Aplicando a=1 e b=2 na parametrização acima, obtemos
x=cosh t, y=2sinh t

Passo 5

Finalmente, escrevemos a função vetorial que descreve a curva:
vec r(t)=l(cosh t,;2sinh tr), tin R

Resposta

vec r(t)=lang<=cosh t,,2sinh trang<=, tin R

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