Seja
um campo de classe
em
. Mostre que
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que para um campo vetorial
de classe
em
vale
. O conteúdo aqui é identidade de cálculo vetorial envolvendo divergência e rotacional, e vamos usar definições de cada operador e o teorema de igualdade de derivadas parciais mistas.
Passo 2
Primeiro, lembremos das definições. Se
, então o rotacional é dado por
E a divergência de um campo
é
Passo 3
Agora vamos calcular
. Chamando
, temos
Passo 4
Expandindo as derivadas parciais, obtemos
Como
é de classe
, o teorema de Schwarz garante que as derivadas parciais mistas são iguais, por exemplo
, e o mesmo vale para os outros pares. Assim, cada termo cancela com seu oposto.
Passo 5
Portanto, concluímos que