Seja F(x, y, z) um campo de classe C^2 em R^3. Mostre que div(rot(F))=0.

Passo 1

A questão pede para mostrar que para um campo vetorial F(x,y,z) de classe C^2 em R^3 vale div(rot(F))=0. O conteúdo aqui é identidade de cálculo vetorial envolvendo divergência e rotacional, e vamos usar definições de cada operador e o teorema de igualdade de derivadas parciais mistas.

Passo 2

Primeiro, lembremos das definições. Se F=(F1,F2,F3), então o rotacional é dado por
rot(F)= l(partial F3partial y-partial F2partial z, partial F1partial z-partial F3partial x, partial F2partial x-partial F1partial yr)
E a divergência de um campo (G1,G2,G3) é
div(G1,G2,G3)=partial G1partial x+partial G2partial y+partial G3partial z

Passo 3

Agora vamos calcular div(rot(F)). Chamando
G=rot(F)=(G1,G2,G3), temos
div(rot(F)) =partialpartial xl(partial F3partial y-partial F2partial zr) +partialpartial yl(partial F1partial z-partial F3partial xr) +partialpartial zl(partial F2partial x-partial F1partial yr)

Passo 4

Expandindo as derivadas parciais, obtemos
partial^2 F3partial xpartial y-partial^2 F2partial xpartial z +partial^2 F1partial ypartial z-partial^2 F3partial ypartial x +partial^2 F2partial zpartial x-partial^2 F1partial zpartial y
Como F é de classe C^2, o teorema de Schwarz garante que as derivadas parciais mistas são iguais, por exemplo
partial^2 F3/partial xpartial y=partial^2 F3/partial ypartial x, e o mesmo vale para os outros pares. Assim, cada termo cancela com seu oposto.

Passo 5

Portanto, concluímos que
div(rot(F))=0

Resposta

0

Exercícios relacionados