Resolva as equaçōes diferenciais abaixo: (3,0)
(b) d yd x+1x y=x y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: $ \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = x y^{2} $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve $ y $ e $ y^{2} $. Para resolver, vamos usar o método de substituição de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
Aqui, temos:
  • $ P(x) = \frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = x $
  • $ n = 2 $

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear. Definimos:
v = y^1 - n = y^-1
Isso significa que $ v = \frac{1}{y} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
v
Ou seja:
x

Passo 5

Substituímos $ \frac{dy}{dx} $ da equação original na expressão acima:
dydx
Simplificando:
dvdx = -1y^2 ( x y^2 - 1x y )

Passo 6

Agora, a equação está na forma linear:
dvdx + ( -1x ) v = -x
Identificamos o fator integrante $ \mu(x) $ para resolver essa equação linear:
mu(x)

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^-1 dvdx - x^-2 v = -1
Isso permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de $ \mu(x) v $:
mu(x) v

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
x
O que resulta em:
integral ddx (x^-1 v) dx = integral -1 dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para $ v $:
v
Lembrando que $ v = \frac{1}{y} $, então:
v = -x^2 + C x
Finalmente, isolamos $ y $:
v = 1y

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 1C x - x^2
Onde $ C $ é a constante de integração.

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