Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: $ \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = x y^{2} $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve $ y $ e $ y^{2} $. Para resolver, vamos usar o método de substituição de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
Aqui, temos:
- $ P(x) = \frac{1}{x} $
- $ Q(x) = x $
- $ n = 2 $
Passo 3
O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma equação linear. Definimos:
Isso significa que $ v = \frac{1}{y} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
Ou seja:
Passo 5
Substituímos $ \frac{dy}{dx} $ da equação original na expressão acima:
Simplificando:
Passo 6
Agora, a equação está na forma linear:
Identificamos o fator integrante $ \mu(x) $ para resolver essa equação linear:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de $ \mu(x) v $:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ x $:
O que resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para $ v $:
Lembrando que $ v = \frac{1}{y} $, então:
Finalmente, isolamos $ y $:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.