Determine equações paramétricas para a reta \ell que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano \Pi, onde:
A=(1,2,0), e \Pi:\left\{\begin{array}{l}x=s \\\ y=t \\\ z=1+2 s-t\end{array}, s, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta \ell\) que passa por \(A=(1,2,0)\) e é perpendicular ao plano \(\Pi\). O plano \(\Pi\) está dado em forma paramétrica por \[\Pi:\begin{cases} x=s,\\\ y=t,\\\ z=1+2s-t, \end{cases}\quad s,t\in\mathbb{R}.
Para obter a reta perpendicular, precisamos do vetor normal a \Pi\], que é obtido como o produto vetorial dos vetores de direção de \(\Pi.

Passo 2

Identificamos dois vetores diretores de \Pi:
\mathbf{v}_s = \frac{\partial}{\partial s}(s,t,1+2s-t)=(1,0,2),
\mathbf{v}_t = \frac{\partial}{\partial t}(s,t,1+2s-t)=(0,1,-1).
O vetor normal \mathbf{n} é
\mathbf{n} = \mathbf{v}_s \times \mathbf{v}_t.

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} =(0\cdot(-1)-2\cdot1)\,\mathbf{i}-\bigl(1\cdot(-1)-2\cdot0\bigr)\,\mathbf{j}+(1\cdot1-0\cdot0)\,\mathbf{k} =(-2,\,1,\,1).
Esse vetor é normal ao plano e, portanto, direção da reta \ell.

Passo 4

A reta \ell passa por A=(1,2,0) e tem direção \mathbf{n}=(-2,1,1). Logo suas equações paramétricas são, usando parâmetro t:
\ell:\quad \begin{cases} x=1-2t,\\\ y=2+t,\\\ z=0+1\cdot t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{ x=1-2t,\quad y=2+t,\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R}. }

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