Exiba uma base para os seguintes subespaços de \mathbb{R}^{4} listados a seguir. Qual é a dimensão destes?.
b) \mathcal{H}=\{(x, y, z, w) / x=y=z\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço \mathcal{H}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4\mid x=y=z\} e sua dimensão. Para isso, vamos traduzir a condição x=y=z num sistema de equações lineares e parametrizar seus vetores.

Passo 2

A condição x=y=z impõe duas equações independentes, mas podemos enxergar direto que x=y=z significa que existe um parâmetro livre t tal que
x=y=z=t
e o quarto componente w também é livre. Assim todo vetor de \mathcal{H} pode ser escrito como
(t,t,t,w).

Passo 3

Podemos decompor (t,t,t,w) em combinação linear de dois vetores independentes:
(t,t,t,w) = t\,(1,1,1,0) \;+\; w\,(0,0,0,1).
Isso mostra que \{(1,1,1,0),(0,0,0,1)\} gera \mathcal{H}. São também linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo escalar do outro.

Passo 4

O número de vetores na base é 2, logo
\dim\mathcal{H} = 2.

Resposta

Uma base de \mathcal{H} é \{(1,1,1,0),(0,0,0,1)\} e \dim\mathcal{H}=2.

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