Considere os vetores \vec{u}=(2,1,3), \quad \vec{v}=(3,-1,4), \quad \vec{w}=(2,6,4).
a) Mostre que u, v, w são linearmente dependentes.
b) Mostre que u, v são linearmente independentes.
c) Qual é a dimensão de \operatorname{ger}\{u, v, w\} ?.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(2,1,3), \vec{v}=(3,-1,4) e \vec{w}=(2,6,4).
O conteúdo aqui é dependência linear em \mathbb{R}^3 e dimensão de um subespaço gerado.

Passo 2

Para mostrar que \vec{u},\vec{v},\vec{w}\) são linearmente dependentes, podemos encontrar escalares não todos zero tais que \[a\,\vec{u}+b\,\vec{v}+c\,\vec{w}=\vec{0}.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a+3b+2c=0,\\\ a - b +6c=0,\\\\ 3a+4b+4c=0. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações: da segunda vem a=b-6c\]. Substituindo na primeira: \[2(b-6c)+3b+2c=0\;\Longrightarrow\;5b-10c=0\;\Longrightarrow\;b=2c,\] logo \(a=(2c)-6c=-4c. A terceira equação então é automaticamente satisfeita, pois
3(-4c)+4(2c)+4c=-12c+8c+4c=0.
Como escolhemos c\neq0, existe solução não trivial (a,b,c)=(-4,2,1), por exemplo
-4\,\vec{u}+2\,\vec{v}+1\,\vec{w}=\vec{0}.
Isso prova que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes.

Passo 3

Para mostrar que \vec{u},\vec{v} são linearmente independentes, basta verificar que não há (\alpha,\beta)\neq(0,0) com
\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}=\vec{0}.
Isto equivale a
(2\alpha+3\beta,\;\alpha-\beta,\;3\alpha+4\beta)=(0,0,0).
Da segunda componente vem \alpha=\beta. Substituindo na primeira:
2\beta+3\beta=5\beta=0\;\Longrightarrow\;\beta=0,
logo \alpha=0. A única solução é \alpha=\beta=0, o que prova que \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes.

Passo 4

Como \vec{u},\vec{v},\vec{w} são dependentes mas \vec{u},\vec{v} são independentes, o espaço gerado por \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} tem exatamente 2 vetores numa base.

Resposta

A dimensão de \operatorname{ger}\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é 2.

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